JMMP 2021 立方加工試驗：球桿量到的八個旋轉軸誤差讓二區、三區比中央區高 0.43／0.23 µm，控制器刀長差 10 µm 時正好差 1.34 µm

2021 年，Li、Ogata、Sato、Shirase、Sakamoto（J. Manuf. Mater. Process. 5, 51）在一台 B 傾斜台上疊 C 轉台的立式五軸機（DMG Mori NMV 1500 DCG）上做「立方加工試驗」：48 × 48 mm 的一個平面分成 3 × 3 區，中央區（I）刀軸垂直，四個邊區（二區）朝中心傾 30°，四個角區（三區）傾 30° 再轉 45°，用 R3 球刀以 TCP 切完，再量中央 40 × 40 mm 內各區比中央區高多少。他們用球桿量出兩個旋轉軸的八個位置與角度誤差（表 5），模擬出各區 −1.4…+0.9 µm（圖 11a）；實測卻是 +4.4…+6.1 µm（圖 7a），作者歸因於球刀刃形在 0° 與 30° 處差約 4 µm（圖 13）。他們也故意讓控制器的刀長多記、少記 10 µm：公式與模擬都說傾斜區相對中央區會動 ∓1.3 µm（式 (2)、表 6）。

論文沒有資料集、NC 與模型，所以一個 AI 代理 (agent) 照論文的描述新建了零件、程式、機台設定與 HiNC 專案；這一頁是這個案例的第一個公開頁。代理再把表 5 的八個誤差放進這一批共用的通用 B/C 雙轉台機，做成兩條誤差項：

• BY-Table5：B 軸平均線的位置與方向誤差（δx_BY、δy_BY、δz_BY 與 α_BY、β_BY、γ_BY），一個 General Transform（旋轉與平移放在同一條連接），緊接在 B 軸的連接之前。
• CB-Table5：C 軸對 B 軸的誤差（α_CB、δx_CB），一個 General Transform，緊接在 C 軸的連接之前。

一支 Fanuc G43.4（TCP）程式切九區，在 HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項）上、0.25 mm 下共播六趟：

• 名目：誤差項關。切出的工件，當作之後每一次幾何差異比對（Diff）的理想幾何。
• 對照：誤差項再關一次，並做 Diff，用來看雜訊底。
• 開：誤差項開、有標記：控制器不知道這兩個誤差。
• 不標記：誤差項開、清掉標記：控制器知道這兩個誤差，就像運動學校正過的控制器。
• eLp、eLm：誤差項關，控制器記的刀長多 10 µm、少 10 µm。

結果：

• 刀尖。 開那一趟 TCP 段的 74,661 步，刀尖偏移全部落在第一次播放前寫下的預測 d = W⁻¹W₀(P + g) − P 上，相差不到 7.4×10⁻¹² mm（P 是程式要的刀尖，g 是打入的對刀工作偏移，W、W₀ 是台側從零件到機台、有與沒有誤差的轉換）。切削面上的步，刀尖最多往旁邊偏 35.0 µm，上下最多 1.52 µm。
• 區高。 兩趟的球心路徑掃出的面（連續包絡），在各量測盒內的平均高度差：中央區 −0.0002 µm、四個二區 +0.4326…+0.4329 µm、四個三區 +0.2337…+0.2340 µm，與計畫的預測差不到 0.0040 µm。相對中央區是 +0.433 與 +0.234 µm，同型四區之間差不到 0.0003 µm。這主要來自 δx_BY（+1.000 µm）、β_BY（−0.464／−0.657 µm）與 δz_BY（−0.087 µm）；在這裡的擺法下，其餘五個誤差各只動一區 0.001 µm 以下。
• 每一區的面也傾斜。 盒中心到最遠的兩角差 ±0.68（中央區）、±0.98–0.99（二區）、±0.89 µm（三區）。在二區、三區讓面傾斜最多的 γ_BY 與 α_CB，對區平均只有 0.0007 µm 以下：讀區平均的試驗看不到這種傾斜。
• 刀長。 控制器的刀長多 10 µm 時，中央區高 +10.0000 µm、傾斜區高 +8.6600…+8.6603 µm，相對中央區 −1.3397…−1.3400 µm；少 10 µm 時正負全部反過來（相對中央區 +1.3395…+1.3397 µm）。這就是 (1 − cos 30°)·eL＝1.3397 µm，相差不到 0.00024 µm；論文表 6 是 −1.3 與 +1.3…+1.4 µm。
• 控制器知道誤差（不標記）時，刀尖回到程式上，只剩一個 5.85 nm 的定值，是打入的工作偏移帶進來的二階項。但傾斜區的面仍高 +0.0500 µm：G43.4 的 B、C 是程式直接下的數字，校正過的控制器把刀尖放回程式點，刀軸在零件上的方向卻仍帶著誤差的轉動，球的最低點因此移動 r(a′z − az)＝0.0497 µm（r＝3 mm 是球半徑，az、a′z 是程式與實際刀軸方向的 z 分量）。計畫只預測了刀尖與名目相同。
• 計畫的十二條標準，照寫有六條沒過，原因都在播放後量到了：
• 運動解析度每轉一步，6000 rpm 下每 10 ms 一步；一行 16 mm 在 2000 mm/min 剛好 48 個主軸週期，所以一行有時 48 步、有時 49 步：各趟步數不同（標準 4），步只能照它在行內的位置配對（標準 6）。
• TCP 段外的 143 步走別的規則（標準 5、6）。
• 每一步只放一顆球，步與步之間不掃掠，相鄰兩步之間留下 4.63 µm 高的稜。計畫拿來判的 Diff 盒內平均（標準 8–10）讀到的是這些稜，離面高最多 0.84 µm。
• 不標記那 5.85 nm，讓標準 6 的不標記那一半沒過。 沒有一條是誤差項或預測算錯：計畫沒料到 HiNC 怎麼做步，逐步的式子也只寫了 TCP 段；第四件是計畫對不標記那一趟的預測沒中。
• 與論文比：這裡 +0.234…+0.433 µm，同型四區一樣；論文的模擬 −1.4…+0.9 µm，各區不同。差在工件相對 B、C 軸放在哪裡，論文沒給：這裡工件中心在 C 軸上、頂面在兩軸線交點的高度，八個誤差裡有五個因此沒有槓桿。實測的 +4.4…+6.1 µm 含著刃形誤差，而模型裡的球是完美的。
• 成本：十趟（1 mm 修剪四趟、0.25 mm 整案六趟），在共用的 32 執行緒伺服器上每趟約 90 s，記憶體峰值最多 1.506 GiB。

這裡的一切都是仿真，沒有實際切削。

誤差項開（有標記）那一趟切出的工件放回畫布，再播放停刀程式 NC/pose-t1.nc（不切削）：R3 球刀 DLC2MBR0300 裝在細長的熱縮刀把上（頸部 D18 在 32 mm 內漸粗到 D24，SK40 本體；刀把與懸伸是選的，論文沒給），以 B30 C180 傾 30°，球的最低點停在二區 +X 中心上方 2 mm（前視，從 −Y 看）。看得到球刃、頸、刀柄與熱縮刀把，SK40 本體的上端被畫面切到；沒有碰撞。工件上疊著那一趟的 Diff，色階 ±0.003 mm：紅＝過切、藍＝殘料、綠＝0，正負同權重。側面沒有切到，全綠；這個角度下，頂面只看得到邊緣一排細點（九區的紋與點見下面的 Diff 畫面）。HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項），0.25 mm。

立方試驗，0.25 mm，HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項）	第一次播放前的預測	量到
開那一趟 TCP 段 74,661 步：刀尖減名目刀尖，再減 d	0（計畫容許 1×10⁻⁹ mm）	最多 7.4×10⁻¹² mm
機械 X、Y、Z 減名目，再減 R_B R_C g（開，TCP 段）	0	最多 6.4×10⁻¹² mm；B、C 差不到 5.7×10⁻¹⁴°
量測盒內球路徑的面高變化：中央區／二區／三區	−0.00001／+0.4291…+0.4324／+0.2297…+0.2335 µm	−0.0002／+0.4326…+0.4329／+0.2337…+0.2340 µm
同上，相對中央區：二區／三區	+0.43／+0.23 µm，各容許 0.03 µm	+0.4329…+0.4331／+0.2339…+0.2342 µm
控制器刀長 +10／−10 µm：傾斜區相對中央區	∓1.3397 µm	−1.3397…−1.3400／+1.3395…+1.3397 µm
不標記：刀尖	與名目相同	每個 TCP 步都是 P + (4.010, 4.246, 0.323) nm，5.85 nm
不標記：傾斜區的面	刀尖不變（所以面高不變）	+0.0500 µm，刀軸轉了（r(a′z − az) + e_z＝0.0501 µm）
開那一趟的 Diff 盒內平均對面高變化	計畫用盒內平均判	差到 0.84 µm：步與步之間的稜
對照對名目	0	每一步逐位相同；每個頂點在 5.0×10⁻¹⁰ mm 內
整案一趟的伺服器時間與記憶體峰值	—	約 90 s，最多 1.506 GiB

案例

收集這個案例時，來源只有論文本身：沒有資料集（論文寫 "The data presented in this study are not available."），沒有 NC，也沒有模型，每一個數字都印在 PDF 裡。HiNC 的產品擁有者在 2026-10-07 依一次論文搜尋的建議，把它加成第十八個誤差項案例：在候選裡，它是唯一用 TCP 切的論文，所以控制器不知道誤差（標記）與知道誤差（不標記）兩種情形都能呈現；刀長誤差又有封閉式可以核對。

這個案例要回答三個問題：

• 表 5 的八個誤差，各讓每一區升降多少？
• 控制器的刀長差 10 µm 時，傾斜區相對中央區是不是正好動 (1 − cos 30°)·eL？
• 運動學校正過的控制器（不標記），能不能切回名目？

代理拿到的：

• 論文（CC BY 4.0）與它印出的數字：
• 機台（第 2 節、圖 1）：立式五軸 DMG Mori NMV 1500 DCG，B 傾斜台上疊 C 轉台，X、Y、Z 在主軸側。B、C 軸線、工作台與工件在哪裡沒給（在作者另一篇非開放取用的文章裡），控制器也沒寫。
• 誤差（第 4.3 節、表 4、表 5、圖 9、式 (4)–(11)）：球桿鑑別出 δx_BY 2.0、δy_BY −11.0、δz_BY −0.647 µm，α_BY 0.0017°、β_BY 0.0019°、γ_BY 0.0210°，α_CB −0.0054°，δx_CB 9.7 µm。
• 試件（第 2 節、圖 2、表 1）：48 × 48 mm 的一個平面分成 3 × 3 區，各區以行距 0.1 mm 的 zigzag 切；材料 AA7075；球刀 DLC2MBR0300（D6、2 刃、螺旋角 30°、DLC 塗層）；精修切深 0.1 mm、2000 mm/min、6000 rpm，之後再走一刀零切深。塊的其他尺寸、夾持、各區的順序與區間的銜接都沒給。
• 量測（第 2 節、圖 7、表 3）：接觸式輪廓儀量中央 40 × 40 mm，路徑相隔 2 mm，各區平均高度減中央區。
• 刀長（第 3、4.2 節、式 (1)、(2)）：TCP 下控制器的刀長差 eL，中央區的深度變 eL、傾斜 30° 的區變 eL cos 30°，所以傾斜區與中央區差 (1 − cos 30°)·eL。
• 模擬（第 4.3 節、圖 11、表 6）與刃形（第 5 節、圖 13）。
• 基底專案，代理為這個案例照論文建的：
• 機台：這一批共用的通用 B/C 雙轉台機（從 NIST 圓錐台案例複製）。B 繞 −Y、C 繞 −Z 轉，兩條軸線交於台面上方 100 mm 的一點；行程 X ±400、Y ±300、Z −250…650 mm、B ±110°；回零與換刀在 Z 600；Fanuc 控制器。這些全是選的：論文沒給機台的幾何，也沒給控制器。
• 工件：48 × 48 × 30 mm 的 AA7075 塊，頂面留 0.1 mm，放在 60 × 60 × 70 mm 的墊塊上。切完的頂面因此正好在 B、C 軸線交點的高度，中心在 C 軸上：程式零點就是 B/C 樞軸，G54 是 (0, 0, 0)。
• 程式 NC/cubic-tcp.nc（2,940 行）：九區各走 161 行沿 X 的 zigzag，每行 16 mm，行距 0.1 mm，2000 mm/min、6000 rpm，在 G43.4 H01 下。程式的點是刀尖：球心在各區上方 z＝r，刀尖＝球心 − r·a，a＝(sin B cos C, sin B sin C, cos B)。二區在 B30、C 180／−90／0／90（+X、+Y、−X、−Y），三區在 C −135／−45／45／135，刀軸上端朝向中心，如論文的圖 2。區的順序是 I、二區 +X、+Y、−X、−Y、三區 +X+Y、−X+Y、−X−Y、+X−Y，區與區之間在刀尖 z 30 移動；零切深那一刀沒放（都是選的）。NC/pose-t1.nc 只把刀停在二區 +X 上方拍刀把，平常在任務裡關著。
• 刀具：T1，R3 球刀 DLC2MBR0300（讀：D6、2 刃、螺旋角 30°；選：刃長 6、頸 D5.7 到 14 mm、柄 D6、全長 60 mm、懸伸 25 mm、刀長 95 mm），裝在熱縮刀把上（選：頸部 D18 在 32 mm 內漸粗到 D24，SK40 本體；論文沒寫刀把）。
• 驗收：存檔後重新載入沒有訊息；重設後 P0 讀回 (0, 0, 0)；1 mm 粗跑 74,690 步、90 s、Finished，訊息只有一則 Sys-Init--FileLines（2,940 行），沒有碰撞；循環時間 12 分 15 秒。
• HiNC 的誤差項。 機台鏈上的軸或主軸可以帶一個誤差項，也就是緊接在那根軸的連接之前、一條自己的靜態連接：它帶的是在真實機台上量到的誤差，不是設計的一部分。控制器 XyzabcSolver 負責把 NC 轉成機械座標（含 RTCP），它一律在名目鏈上解，把標記的連接當作不存在。專案的啟用誤差項開關開著時，仿真的機台帶著標記的連接運動、切削、檢查碰撞。所以誤差會切進零件，就像一台控制器不知道自身誤差的真實機台。有 RTCP（G43.4）時，沒有標記的誤差是控制器知道的機台的一部分，機械座標會跟著它走：也就是運動學校正過的控制器（誤差項連接 (Error-Term Branches)，英文，未鏡像）。
• 對刀與 P0。 HiNC 的 P0 在名目鏈上量程式零點。真實機台對刀量到的工作偏移，已經含有對刀姿態下誤差造成的固定偏移。手冊說，要重現某家工廠的結果，就手動打入那家量到的工作偏移（有誤差項的機台上的工作偏移）。
• 一條放置規則。 HiNC 的產品擁有者在 2026-10-06 裁定：誤差項只放在角色連接（X … C 軸或主軸）的正上游，放在一個自己的新錨點上，錨點名是那條連接的名字後面加 err。
• 要求。 HiNC 的產品擁有者要求以既有案例為底做誤差項的展示案例，產品案例與論文案例都收，重的播放放在共用伺服器上跑；2026-10-07 又把論文搜尋推薦的兩篇加成第十七、十八個案例。

沒有人告訴它的：

• 工件相對 B、C 軸放在哪裡：論文沒說。這裡工件中心放在 C 軸上，頂面在兩條軸線交點的高度（難題 1）。
• 角度誤差繞哪一點轉：一個角度誤差把一個點移多遠，要看它繞哪一點轉，論文沒給參考點。這裡讓誤差繞名目 B、C 軸線的交點轉（難題 1）。
• 正負號往哪個方向放：計畫把表 5 的每個值當成下游那一段的旋轉或平移；論文的式 (4) 照字面讀，方向正好相反（難題 2）。
• 對刀會量到什麼：手冊只說要打入現場對刀量到的值。樞軸放在哪裡、General Transform 先轉還是先平移，決定對刀會量到什麼；代理從機台鏈推出來（難題 3）。
• 刀長誤差放在哪裡：它不是機台的誤差，而是控制器記的刀長，所以不做成誤差項，而是用刀具偏移的軸向磨耗打進去（下一節）。
• 一行有幾步、切出的面長什麼樣：一行剛好 48 個主軸週期，步數會在 48 與 49 之間翻（難題 4）；每一步只放一顆球，步與步之間留下稜（難題 6）。

這一案的新東西：

• 基底是為這個案例新建的，照論文建，不是拿已驗收的案例：代理寫出毛胚、九區的程式與停刀程式，每個值都標明是讀到、推出或選的，再透過 HiNC 的 REST 介面建出基底專案，以 1 mm 驗收。
• 一條誤差項同時帶旋轉與平移：兩條都是 General Transform。
• 兩條誤差項分別在兩個旋轉軸的上游，程式是 TCP：控制器知不知道誤差，切出的零件不一樣。
• 刀側的誤差：控制器的刀長多記、少記 10 µm 各跑一趟（誤差項關），對照論文的式 (2) 與表 6。
• 零件讀的是球刀切出的平面的區平均高度，與論文的試驗一樣。

代理建了什麼

每個值都標明是讀到（出自論文或基底案例）、推出（由讀到的值算出）或選的（代理自己決定）。

	BY-Table5：B 軸線的位置與方向誤差	CB-Table5：C 軸對 B 軸的誤差
意義（論文表 4）	δx_BY、δy_BY、δz_BY：B 軸平均線沿 X、Y、Z 的位置誤差；α_BY、β_BY、γ_BY：B 軸與 Y 軸之間繞 X、Y、Z 的角度誤差	α_CB：C 軸與 B 軸之間繞 X 的角度誤差；δx_CB：C 軸對 B 軸沿 X 的位置誤差
值	平移 (2.0, −11.0, −0.647) µm；三個角度 (0.0017°, 0.0019°, 0.0210°) 當成一個旋轉向量，合成一個繞 (0.0804, 0.0898, 0.9927) 轉 0.021154° 的旋轉	繞 X 轉 −0.0054°；平移 (9.7, 0, 0) µm
來源	讀到：表 5；推出：旋轉向量的長度與方向	讀到：表 5
放在哪	緊接在 B 軸的連接之前：新錨點 Berr 把原本的 frame → B 切成兩段，frame→Berr 命名為 BY-Table5，帶 General Transform，是 B 軸有標記的誤差項；B 軸原本的 Dynamic Rotation（繞 (0, −1, 0)）值不變地搬到 Berr→B，B 軸角色繫結到這條新連接	緊接在 C 軸的連接之前：新錨點 Cerr，B→Cerr 命名為 CB-Table5，帶標記的 General Transform；C 軸的 Dynamic Rotation（繞 (0, 0, −1)）值不變地搬到 Cerr→C，C 軸角色繫結到它
樞軸	(0, 0, 0)：名目 B、C 軸線的交點，也就是程式零點（選的）	同左（選的）
誰跟著它動	下游的 B 軸、C 軸、台面、墊塊與工件	下游的 C 軸、台面、墊塊與工件
怎麼作用	HiNC 的 General Transform 先轉再平移：x → Rot·x + t（第一次播放前用 P0 核過，難題 3）	同左

建好後讀回的機台鏈：台側 O→base→frame→Berr→B→Cerr→C→w，主軸側 base→X→Y→Z→S→t。C→w 把台面裝在樞軸下方 100 mm；70 mm 的墊塊加 30 mm 的塊，讓頂面正好在樞軸的高度。

設備頁拓樸欄裡的工具機叢集（GeneralMechanism）。BY-Table5（frame → Berr，緊接在 B 軸之前）與 CB-Table5（B → Cerr，緊接在 C 軸之前）都是 General Transform，畫成粗線，帶橘色「誤差項」徽章；B、C 軸的 Dynamic Rotation 值不變地搬到 Berr → B、Cerr → C，B 軸、C 軸的角色繫結在這兩條新連接上。下方是同一張擷取 frame → C 這一段的放大。HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項），繁中介面。

對刀與工作偏移。

• 標記在時，不論開關開或關，P0 都讀回 (0, 0, 0)：P0 在名目鏈上量。
• 真實機台在 B＝C＝0 對刀，會量到程式零點真正的位置。兩條誤差把它移到 t_B + Rot_B·t_C＝(11.700, −10.996, −0.647) µm，記作 g（|g|＝16.07 µm）。清掉標記時按 P0，讀回的正是這個值，相差不到 2.9×10⁻¹⁵ mm。
• 開與不標記兩趟打入這個 g，照手冊有誤差項的機台上的工作偏移的建議：要重現某個現場的切削，就打入它量到的值，不按 P0。名目、對照、eLp、eLm 保持 (0, 0, 0)。
• 打入的 g 是台面上的一點，控制器用名目的 B、C 轉它。

刀長誤差不是誤差項，而是控制器記的刀長，也就是理想長度減掉軸向磨耗：eLp 打磨耗 −0.010 mm（控制器以為刀長多 10 µm），eLm 打 +0.010 mm（少 10 µm），兩趟的誤差項都關著。

第一次播放前寫下的預測（計畫與它的預測，由代理的預測腳本算出）：

• 每一步的刀尖（程式座標）：控制器解名目鏈，把刀尖放在機械座標 x＝R_B R_C (P + g)，P 是名目刀尖，R_B、R_C 是兩軸的轉動。刀在零件上真正到的點是 P′＝W⁻¹x，W＝E_B R_B E_C R_C（E 是兩條誤差）。偏移 d＝P′ − P＝W⁻¹W₀(P + g) − P，W₀＝R_B R_C，每一步由它的 B、C 與名目刀尖 P 決定。不標記與對照兩趟的刀尖與名目相同。
• 機械座標：開那一趟與名目差 R_B R_C g（打入的 G54 經名目的 B、C 轉過），B、C 相同。計畫說不標記那一趟也一樣，這一點沒中（難題 8）。
• 各區的面高：球刀切平面時，面在球心高度減 r 的地方，所以 dh＝d_z + r(a′z − az)，a′ 是刀軸在零件上的實際方向。
• 中央區 0；四個二區 +0.446…+0.449 µm、四個三區 +0.253…+0.257 µm（論文 40 × 40 mm 量測範圍內，各區那一塊的形心）。
• 量測盒（各區離相鄰區內縮 1 mm）：+0.4291…+0.4324 與 +0.2297…+0.2335 µm。
• 同型四區幾乎一樣：每一區切削時相對 B 軸都在同一個位置，只差一個 C 的轉角。
• 誰造成的：δx_BY 1.0、β_BY 0.46／0.66、δz_BY 0.09 µm；在這裡的擺法下，α_BY、γ_BY、δy_BY、α_CB、δx_CB 各 0.001 µm 以下。
• 刀長：控制器多記 eL，刀尖往主軸方向移 eL·a，面升高 eL·az：中央區 +eL，傾斜區 +eL cos 30°，所以 eL＝±10 µm 時傾斜區相對中央區是 −(1 − cos 30°)·eL＝∓1.3397 µm，每一個傾斜區都一樣。

代理怎麼管理這件工作

• 先寫標準與預測。 計畫、預測與十二條編號的標準，在第一次播放前提交，之後沒有改過。
• 誤差項專案。 基底專案連同 NC/ 資料夾與機台另存成新專案，插入兩條誤差項並讀回核對；任何播放之前，先用 P0 核對對刀值。
• 先修剪、再整案，一次一趟。 修剪組是同一支程式在 1 mm 下播四趟（名目、開、對照、不標記），先驗證建置、逐步的式子與不標記那一趟；整案在 0.25 mm 下播六趟，這一頁的數字都出自這六趟。修剪與整案的逐步序列（刀尖、機械座標、程式行）逐步相同，只有 IsTouched 隨格距不同。
• 每一趟都用重啟過的實例，所以每一趟的記憶體峰值都是它自己的。
• 理想幾何用名目趟切出的工件。 名目趟匯出它切出的工件，其餘各趟的 Diff 都對它比，所以 Diff 只剩兩趟之間不同的地方，不含刀路本身留下的扇貝。
• 訊息層級。 證據腳本要讀出每支程式執行過的行、IsTouched，以及 Message 層級以上的全部訊息，為此開那一趟又播了一次；它的紀錄是第二次播放，逐步序列與切出的工件和第一次逐位相同。其他趟以 Warning 層級以上的訊息，以及逐步相同的程式行序列（FileNo, LineNo）代證，這是計畫允許的。
• 判定與數字都從紀錄來。 檢查腳本在共用伺服器上從紀錄判標準 3–12，代理的分析腳本再從紀錄重算這一頁的每一個數字，每個數都附出處；兩者相差不到 5×10⁻⁷ µm。
• 畫面兩種介面語言各拍一套。
• 人在哪裡介入。 HiNC 的產品擁有者要求以既有案例為底做誤差項的展示案例，產品案例與論文案例都收，重的播放放在共用伺服器上跑；產品擁有者也裁定了誤差項可以放在哪裡，並在 2026-10-07 加入這篇論文。基底專案、工件的擺法、樞軸、正負號的讀法、對刀值、預測與標準，都是代理定的。

各趟：

趟	格距	啟用誤差項	標記	G54	控制器的刀長	用途
t-nominal	1 mm	關	有（不生效）	0	照建置	修剪：名目，匯出它切出的工件
t-on	1 mm	開	有	g	照建置	修剪：控制器不知道誤差
t-control	1 mm	關	有（不生效）	0	照建置	修剪：對照
t-unmarked	1 mm	開	清掉	g	照建置	修剪：控制器知道誤差
f-nominal	0.25 mm	關	有（不生效）	0	照建置	整案：名目，匯出理想幾何
f-control	0.25 mm	關	有（不生效）	0	照建置	整案：對照，雜訊底
f-on	0.25 mm	開	有	g	照建置	整案：控制器不知道誤差
f-unmarked	0.25 mm	開	清掉	g	照建置	整案：控制器知道誤差
f-eLp	0.25 mm	關	有（不生效）	0	多 10 µm（磨耗 −0.010 mm）	整案：控制器的刀長多記
f-eLm	0.25 mm	關	有（不生效）	0	少 10 µm（磨耗 +0.010 mm）	整案：控制器的刀長少記

各趟共同的設定：

• 物理關：這個案例只看幾何。碰撞偵測開，失敗時暫停關。
• 運動解析度「每轉進給」：每轉一步，6000 rpm 下每 10 ms 一步，2000 mm/min 時步距 1/3 mm（難題 4、6；其他命令〈設定，一個命令一項〉）。
• Diff（工作流程：幾何驗證）：偵測半徑 1 mm，色階 ±0.003 mm；eLp、eLm 的畫面用 ±0.012 mm。
• 停刀程式 NC/pose-t1.nc 關著，只在拍刀把時播放。
• 每一趟都匯出它切出的工件；做 Diff 的趟另外記下最後的毛胚，拍圖時放回畫布。

難題

每一條都依情況、沒發現時的風險、怎麼發現、解法，以及解法成立的證據來寫。

1. 論文沒給工件相對 B、C 軸的位置，也沒給角度誤差的參考點

• 情況。 論文那台機台的 B、C 軸線、工作台與工件在哪裡，寫在作者另一篇非開放取用的文章裡；表 5 也沒說角度誤差繞哪一點轉。一個角度誤差把零件移多少，要看它繞哪一點轉、零件離那一點多遠。
• 風險。 擺法一換，區高的大小與圖樣都會變。拿這個案例去說論文那台機台「應該」是多少，就說過頭了。
• 怎麼發現。 讀論文時。
• 解法。 選一個說得清楚的擺法，寫進計畫：工件中心在 C 軸上、頂面在 B、C 軸線交點的高度，兩條誤差都繞這一點，也就是程式零點轉。代價也寫明：這樣擺，α_BY、γ_BY、δy_BY、α_CB、δx_CB 只造成水平位移或沒有槓桿，對區平均各 0.001 µm 以下；結果是對稱的，重現不了論文圖 11a 的不對稱，與論文只能定性地比。
• 證據。 預測裡逐一單獨放每個誤差的貢獻（見下面〈區高〉的結果）；同型四區之間相差不到 0.0003 µm。

2. 表 5 的正負號往哪個方向放

• 情況。 計畫把表 5 的每個值，當成下游那一段（從零件往機台的方向）的旋轉或平移：x → Rot·x + t。論文的式 (4) 是把機台座標的刀尖依序乘上 M_B、M_γBY … M_δxBY，得到工件座標，式 (6)–(11) 寫的是 +δ 與 +角度；照字面讀，每個誤差的作用方向正好相反。
• 風險。 照字面放，區高相對中央區會反號。寫「與論文同號」或「與論文反號」，都沒有根據。
• 怎麼發現。 分析重讀式 (4)–(11)，用同一條鏈把八個值全部反號重算。
• 解法。 讀法在第一次播放前由計畫定下，不改；這一頁兩種讀法的結果都寫。與圖 11a 的比較本來就因為工件位置不明只能定性（難題 1）。
• 證據。 計畫的讀法：二區 +0.4457…+0.4490 µm、三區 +0.2532…+0.2569 µm（形心，相對中央區）；八個全部反號：二區 −0.4524…−0.4491 µm、三區 −0.2603…−0.2566 µm。

3. General Transform 先轉再平移：第一版對刀值差了 4 nm

• 情況。 這一批的工具為這個案例加上 General Transform 時，以為它先平移再轉，第一版的對刀工作偏移就照這個順序算成 (11.704, −10.996, −0.648) µm。誤差項專案是用這一版建的。
• 風險。 打入的工作偏移差 0.004 µm，預測跟著偏；更要緊的是，順序弄錯了，每一個用到 General Transform 的預測都會錯。
• 怎麼發現。 標準 2 要求的播放前對刀核對。清掉標記時，P0 讀回 (11.69999934, −10.99644, −0.64732) µm，等於 t_B + Rot_B·t_C，也就是先轉再平移（x → Rot·x + t）；先平移再轉會是 (11.704009, −10.995692, −0.647714) µm，x 差 0.004 µm。
• 解法。 第一次播放前，預測腳本改成先轉再平移，打入的工作偏移改成它算出的 t_B + Rot_B·t_C（與 P0 的讀數差 2.9×10⁻¹⁵ mm），預測重算：量測盒的期望值從 +0.431…+0.434／+0.232…+0.235 µm 變成 +0.429…+0.432／+0.230…+0.233 µm。這些都隨計畫一起提交。
• 證據。 打入的工作偏移與清掉標記時的 P0 相差不到 2.9×10⁻¹⁵ mm。

4. 一行 48 步或 49 步

• 情況。 運動解析度每轉一步，6000 rpm 下每 10 ms 一步。一行 16 mm 在 2000 mm/min 要 0.48 s，剛好 48 個主軸週期，那一行的時長一捨入，就是 48 或 49 步。1,449 行裡，名目自己就有 127 行是 49 步。誤差、對刀值或刀長一改，翻成 49 步的行就換了：開 241 行、不標記 258 行、eLp 159 行、eLm 149 行。
• 風險。 標準 4 要名目、對照、eLp、eLm 步數相同，標準 6 在步數相同時逐步配對。照步序號配對，從第一個不同的行以後全部錯位。
• 怎麼發現。 只改了 10 µm 刀長的 eLp、eLm，也多了 32 與 22 步。
• 解法。 照程式行配對；一行兩趟步數不同時，把那一步放到名目那一行起訖點之間、同一比例的位置來比（名目的步是那一行的等分，驗過，差不到 3.6×10⁻¹⁴ mm）。標準 4 記成照寫失敗。手冊提醒，誤差項開與關的兩趟步數可能不同，要照時間或機械座標比，不要照步序號（關閉誤差項）；照程式行內的比例對齊，是這個案例自己的做法。
• 證據。 步數的差全部來自在 48 與 49 之間翻的行，沒有一行是別的步數：開 185 行 48 → 49、71 行 49 → 48，淨 +114；不標記 249／118，+131；eLp 104／72，+32；eLm 124／102，+22。照行內比例配對的步：開 12,473、不標記 17,865、eLp 8,552、eLm 10,972。

5. TCP 段外的 143 步走別的規則

• 情況。 標準 5、6 說「每一步」，但式子是控制器在 TCP 下逐步解鏈的式子，只適用第 12–2935 行。TCP 段之外，程式還有三段：換刀（第 7 行，1 步）、從換刀位置出發的第一段快移（第 11 行，119 步），以及 G49 之後回到 Z200（第 2937 行，23 步）。
• 風險。 把這 143 步的大差（開那一趟到 0.0253 mm）當成誤差項或控制器的錯。
• 怎麼發現。 檢查腳本把殘差一段一段分開算。
• 解法。 標準 5、6 記成照寫失敗，另外量出每一段自己的規則：換刀在機械的固定位置，機械座標差 0；接近段的機械座標差從 0 直線混合到第一個 TCP 值（殘差不到 9.2×10⁻¹⁴ mm）；G49 之後只有 Z 直線混合（不到 7.2×10⁻¹⁵ mm）。
• 證據。 每一趟的每一步，連這 143 步在內，都滿足 刀尖＝W⁻¹(機械刀尖)，相差不到 1.8×10⁻¹³ mm。

6. Diff 的盒內平均讀到的是稜，不是面高

• 情況。 每轉一步時，步與步之間不掃掠，切出的面是每一步一顆球的聯集：步距 1/3 mm 留下 4.63 µm 的稜，行距 0.1 mm 留下 0.42 µm 的扇貝。兩趟的球落在一行上不同的位置時（48 對 49 步的行；開那一趟各傾斜區的行整行沿 X 平均偏 0.6–32.5 µm），Diff 在頂點與頂點之間擺盪到約 ±5 µm。標準 8–10 讀的，是每一盒內頂點的 Diff 平均。
• 風險。 要判的量只有 0.23–0.43 µm，稜比它大十到二十倍；連刀長那一項的 1.34 µm，也只有稜高的三分之一。照盒內平均看，會以為誤差項或預測錯了。
• 怎麼發現。 盒內平均離預測最多 0.84 µm（開，三區 −X−Y：−0.602 對 +0.233 µm），開那一趟的 Diff 畫面每 1/3 mm 有一條直紋。寫標準之前，沒有先估稜高 f²/8R（f 是步距）。
• 解法。 標準 8–10 記成照寫失敗；另外從逐步序列算出球路徑的面高變化（連續包絡，在每一盒內密集取樣），以及每步一顆球的面的面積平均，把盒內平均拆開來看。
• 證據。 盒內平均等於兩個球的聯集在同一批頂點上的差（開 0.020 µm 以內，其他趟 0.00051 µm 以內）；每一行兩趟步數都相同的 12 個盒，面積平均與面高變化相差不到 0.0027 µm；面高變化與預測相差不到 0.0040 µm。

7. 計畫的盒內預測跟著同一顆球，量的是同一個位置

• 情況。 計畫每一盒的期望值，是「名目最低點在盒中心的那一顆球」升降多少。誤差讓每一區的面傾斜，每顆球又在面上側移最多 35.0 µm，所以同一顆球與同一個位置，高度不一樣。
• 風險。 拿量到的面高變化去比計畫的盒內預測，會看到最多 0.004 µm 的差，以及計畫自己同型四區之間 0.0033／0.0037 µm 的極差，好像同型四區真的不一樣。
• 怎麼發現。 量到的同型四區極差只有 0.00026 µm，比計畫的小一個數量級。
• 解法。 用同一條鏈在固定位置（盒中心）算「定點模型」：四個二區都是 +0.43296 µm、四個三區都是 +0.23398 µm，沒有極差。判定照寫，不改。
• 證據。 量到的面高變化與定點模型相差不到 0.0004 µm，這就是密集取樣格子本身的取樣誤差（以盒中心為中心的格子與原本的格子，相差不到 0.0004 µm）。

8. 校正過的控制器沒有切回名目

• 情況。 計畫預測不標記那一趟的刀尖與名目相同（標準 6，1×10⁻⁹ mm 以內；照此面高不變），機械座標也與開那一趟一樣差 R_B R_C g。量到的是：刀尖在 P + e，e＝(4.010, 4.246, 0.323) nm，|e|＝5.85 nm，是定值；八個傾斜區的面高 +0.0500 µm；機械座標是 W(P + e) − W₀P，最多 (15.6, 25.2, 6.5) µm。
• 風險。 以為清掉標記沒有作用，或校正過的控制器出了錯。
• 怎麼發現。 標準 6 的判定，以及不標記那一趟的面高。
• 解法。 標準 6 記成照寫失敗，用預測的鏈解釋兩件事：
• 刀尖的 5.85 nm：e＝(I − R0⁻¹)g，相差不到 5.4×10⁻¹² mm。打入的工作偏移是在 B＝C＝0 量到程式零點的位置，控制器把它當成台面座標加上去，沒有把兩條誤差在 B＝C＝0 時合起來的旋轉 R0 轉回來。這是二階項，與 |g| × 0.021154°＝5.93 nm 同量級。
• 傾斜區的 +0.050 µm：G43.4 的 B、C 是程式直接下的數字，所以校正過的控制器把刀尖放回程式點，刀軸在零件上的方向卻仍帶著誤差的轉動；球心＝刀尖 + r·a′，球的最低點升高 r(a′z − az)＝0.0497 µm，加上 e_z 0.0003 µm，就是 0.0501 µm，每一個傾斜區、每一個 C 都一樣。
• 證據。 量到 +0.049985…+0.050065 µm，模型 0.050051 µm；中央區量到 +0.0002 µm，模型 +0.0003 µm；機械座標與 W(P + e) − W₀P 相差不到 5.4×10⁻¹² mm。手冊的標記會改變什麼說，有 RTCP 時機械座標會跟著沒有標記的誤差走；這個案例量到的是：刀尖跟著走，G43.4 下的刀軸方向卻不會。

9. 塊邊的網格距離讀到 8.6 µm

• 情況。 開那一趟的頂點到名目工件的距離，切削面上在 −5.25…+4.99 µm 之間，最大卻讀到 +8.57 µm；不標記最大 +8.45 µm（切削面上 −4.57…+4.67 µm）。1 mm 的修剪趟甚至讀到 0.708 mm。
• 風險。 距離搜尋只看最近 12 個三角形的中心，在大三角形（沒切到的毛胚面）旁邊會把距離讀大。把這些極值當成誤差的形狀，會以為塊邊被切壞了。
• 怎麼發現。 這些極值遠大於步姿模型在那些頂點讀到的值。
• 解法。 超過門檻的頂點，都在共用伺服器上逐一對名目工件的每一個三角形，用精確的點到三角形距離重核：開 185 個（門檻 6 µm）、不標記 334 個，全部是真的距離，沒有一個是搜尋造成的假值，全部在塊邊（|x| 或 |y|＝24 mm、z ≤ 0.0016 mm），也就是切出的頂面接上沒切到的側面的那一條 90° 邊。步姿模型在那些頂點只讀到 +0.02…+1.62 µm（開）與 +0.024 µm（不標記）。所以塊邊的值量到的是兩份網格怎麼表示這條邊，不是面的偏差。這是推論：這些值只出現在邊上、模型在那裡讀到的很小、1 mm 修剪趟正好到約 1/√2 mm，也就是一格的 45° 斜切。這一頁的面上極值都不含塊邊。
• 證據。 精確距離與搜尋值相差不到 4.6×10⁻⁷ µm（開）；eLp、eLm 與對照沒有頂點超過各自的門檻（13.5、13.5 與 0.001 µm）；修剪趟的 125 與 207 個頂點也全部是真的，也全部在塊邊。

結果與效益

除非另外註明，以下數字都是整案（0.25 mm）、在 HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項）上、物理關時量的；這裡說的「量到」，都是從 HiNC 的仿真結果量的。

計畫的十二條標準

十二條裡，五條（1、2、3、7、11）通過，成本也記下了（12）；六條（4、5、6、8、9、10）照寫失敗，每一條的原因都在事後量到。 標準 1、2 在第一次播放前核對；3–12 由檢查腳本從紀錄判定，再由分析重算。

#	標準（摘要）	判定	量到
1	建置：兩條誤差項都有標記，讀回的值與設計檔相同；B、C 軸的物件搬到 Berr→B、Cerr→C；角色檢查是空的；載入沒有訊息；標記在時 P0 讀回 0	通過（「物件」只核到值、名稱與角色）	鏈是 O→base→frame→Berr→B→Cerr→C→w 與 base→X→Y→Z→S→t；兩個 General Transform 都有標記，讀回的軸、角度、樞軸與平移與設計相同；B、C 的 Dynamic Rotation 搬到 Berr→B、Cerr→C 後，值、名稱與角色都不變，兩條連接換了新的 guid，B 軸、C 軸在舊連接刪除時解除繫結、再繫結到新連接；轉換器是不是原來那個物件，紀錄看不出來；載入基底、另存的複本與 P0 核對時都沒有訊息；角色檢查前後都是空的
2	對刀：標記在時，開關開或關，P0 都讀回 (0, 0, 0)，誤差 1×10⁻⁶ mm 以內；清掉標記時，讀回預測的對刀值，誤差 1×10⁻⁶ mm 以內	通過	標記在：開、關都讀回 (0, 0, 0)，完全相同；清掉標記：開、關都讀回 (11.69999934, −10.99644, −0.64732) µm，與預測的對刀值，也就是開與不標記兩趟打入的工作偏移，相差不到 2.9×10⁻¹⁵ mm
3	訊息與執行（每一趟）：nc 區只有一則 Sys-Init--FileLines；step 與 ncManip 是空的；做 Diff 的趟只多 Diff--Stats 與 Diff--TargetNotClosed；執行 2,940 行；IsTouched 峰值 1	通過	開那一趟：一則 Sys-Init--FileLines，step 與 ncManip 空，執行 2,940／2,940 行，IsTouched 峰值 1；十趟 Warning 層級以上的訊息，只有做 Diff 的趟各一則 Diff--TargetNotClosed；六個整案趟的峰值都是 1，程式行的順序與名目相同（其他趟以此代證，計畫允許）；四個 1 mm 修剪趟的峰值也是 1（碰料 21,524–22,281 步），程式行的順序也與名目相同
4	步數：名目、對照、eLp、eLm 相同；開與不標記與名目差 0.1% 以內；整案在 74,000 與 75,500 之間	照寫：失敗	名目＝對照 74,690；eLp 74,722（+32）、eLm 74,712（+22），不相等；開 74,804（+0.153%）、不標記 74,821（+0.175%）；都在範圍內。原因：一行 48 或 49 步（難題 4）
5	機械座標：對照＝名目（1×10⁻⁹ mm 以內）；G43.4 生效後，eLp、eLm 每一步的 Z 多 +0.010／−0.010 mm，X、Y、B、C 相同；開那一趟的 X、Y、Z 差打入的工作偏移經名目 B、C 轉過的值（1×10⁻⁹ mm 以內），B、C 相同	照寫：失敗	TCP 段（第 12–2935 行）：開對 R_B R_C g 相差不到 6.4×10⁻¹² mm；eLp、eLm 的 Z 對 ±0.010 mm 相差不到 5.1×10⁻¹² mm，X、Y 相同；對照差 0；B、C 相差不到 5.7×10⁻¹⁴°。TCP 段外的 143 步：開差到 0.0253 mm，eLp、eLm 在接近段差到 0.00992 mm（難題 5）
6	每一步的刀尖，每一步都比，步數相同時照序號配對：開對預測 1×10⁻⁹ mm 以內；對照對名目 1×10⁻¹² mm 以內；不標記對名目 1×10⁻⁹ mm 以內；eLp、eLm 離名目 ±eL·a，1×10⁻⁹ mm 以內	照寫：失敗	TCP 段：開相差不到 7.4×10⁻¹²、eLp 5.6×10⁻¹²、eLm 5.9×10⁻¹² mm，對照 0。沒過的原因有三：照序號配對只對對照成立，其他趟各有 8,552–17,865 步要照它在行內的比例對齊（難題 4）；TCP 段外的 143 步（難題 5）；不標記的刀尖是 P + (4.010, 4.246, 0.323) nm，不是 P（難題 8）。每一趟的每一步都滿足 刀尖＝W⁻¹(機械刀尖)，相差不到 1.8×10⁻¹³ mm
7	對照的雜訊底：對照切出的工件每個頂點都在 1×10⁻⁶ mm 內	通過	整案：57,523 個頂點，最大 4.96×10⁻¹⁰ mm；1 mm 修剪的對照 4,767 個頂點，最大 4.83×10⁻¹⁰ mm
8	量測盒（整案，開對名目）：九區的有號平均與設計的期望值差 max(0.03 µm, 5%) 以內；兩個側面每個頂點 0.01 µm 以內	照寫：失敗	Diff 盒內平均 −0.602…+0.313 µm，預測是 −0.00001…+0.4324 µm；只有三區 +X−Y 在容差內，最遠的三區 −X−Y 是 −0.602 對 +0.233 µm。兩個側面各 3 個頂點，都讀 0（這一半成立）。原因：Diff 讀到每步一顆球留下的稜（難題 6）。球路徑的面高變化與預測相差不到 0.0040 µm（這是發現，不拿來重判）
9	相對中央區（整案，開）：四個二區 +0.43、四個三區 +0.23 µm（每區 0.03 µm 以內）；同型四區的極差 0.01 µm 以內	照寫：失敗	Diff 盒內平均相對中央區：二區 +0.134…+0.367、三區 −0.549…+0.277 µm，極差 0.233／0.825 µm。原因同標準 8。面高變化相對中央區 +0.4329…+0.4331／+0.2339…+0.2342 µm，極差 0.0003／0.0003 µm，與預測相差不到 0.0043 µm
10	刀長（整案，eLp、eLm 對名目）：中央區 +10.000／−10.000、傾斜區 +8.660／−8.660 µm（0.01 µm 以內）；相對中央區 −1.340／+1.340 µm（0.01 µm 以內）	照寫：失敗	Diff 盒內平均：eLp 中央區 +9.999、傾斜區 +8.372…+8.784 µm；eLm −10.000、−8.907…−8.663 µm；相對中央區 −1.627…−1.215／+1.092…+1.337 µm。原因同標準 8。面高變化：eLp +10.0000 與 +8.6600…+8.6603 µm，eLm −10.0000 與 −8.6605…−8.6603 µm；相對中央區與 ∓1.3397 µm 相差不到 0.00024 µm
11	刀把：開著碰撞偵測的每一趟都沒有 Collided(…)	通過	十趟的專案都開著碰撞偵測，沒有任何碰撞訊息
12	成本：每一趟的步數、牆鐘時間與 VmHWM	已記錄	整案每趟約 90.1 s（eLm 85.1 s）、1.429–1.506 GiB；修剪 90.1 s、1.275–1.344 GiB（見〈執行成本〉）

照寫失敗的六條，來自四件事，都在播放後量到，寫在難題裡：一行的步數在 48 與 49 之間翻（標準 4、6；難題 4）；TCP 段外的 143 步（標準 5、6；難題 5）；每一步一顆球、不掃掠，Diff 的盒內平均讀到稜（標準 8–10；難題 6）；校正過的控制器留下的 5.85 nm（標準 6 的不標記那一半；難題 8）。前三件出在計畫的寫法：它沒料到 HiNC 怎麼做步，又把只適用 TCP 段的式子寫成「每一步」；第四件是計畫對不標記那一趟的預測沒中。誤差項本身照預測切進零件：TCP 段每一步的刀尖與機械座標對到 10⁻¹² mm 級，球路徑的面高對到 0.004 µm。

刀尖：TCP 段每一步都落在預測上

這裡的刀尖指每一步的 Cl：實際刀尖在程式座標中的位置。各趟與名目一行一行配對：同一行兩趟步數相同就逐步配，不同就把那一步放到名目那一行起訖點之間、同一比例的位置來比（名目的步是那一行的等分，相差不到 3.6×10⁻¹⁴ mm）。

比較（TCP 段，第 12–2935 行）	步數	照比例配對	最大差
開：刀尖減名目，再減預測 d	74,661	12,473	≤ 7.4×10⁻¹² mm
開：機械 X、Y、Z 減名目，再減 R_B R_C g	74,661	12,473	≤ 6.4×10⁻¹² mm
eLp：刀尖減名目，再減 +eL·a	74,579	8,552	≤ 5.6×10⁻¹² mm
eLm：刀尖減名目，再減 −eL·a	74,569	10,972	≤ 5.9×10⁻¹² mm
eLp、eLm：機械 Z 減名目，再減 ±0.010 mm（X、Y 相同）	同上	同上	≤ 5.1×10⁻¹² mm
不標記：刀尖減名目，再減定值 e＝(I − R0⁻¹)g	74,678	17,865	≤ 5.4×10⁻¹² mm
不標記：機械座標減名目，再減 W(P + e) − W₀P	74,678	17,865	≤ 5.4×10⁻¹² mm
開、不標記、eLp、eLm：B、C 減名目	全部	—	≤ 5.7×10⁻¹⁴°
對照：刀尖與機械座標減名目	74,547	0	0（逐步序列相同）
每一趟每一步（含 TCP 段外）：刀尖減 W⁻¹(機械刀尖)	全部	—	≤ 1.8×10⁻¹³ mm

開那一趟在切削面上（名目刀尖 z < 0.6 mm）的刀尖偏移，每區的平均與範圍（µm，程式座標）：

區	B、C	步數	平均 (Δx, Δy, Δz)	Δx	Δy	Δz
I	0°, 0°	7,896	(−0.003, +0.003, −0.001)	−2.95…+2.93	−2.93…+2.93	−0.78…+0.78
二區 +X	30°, 180°	7,891	(+22.81, −27.34, +0.33)	+20.39…+25.24	−29.76…−24.92	−0.85…+1.51
二區 +Y	30°, −90°	7,891	(+28.04, +0.12, +0.33)	+25.62…+30.46	−2.30…+2.54	−0.85…+1.51
二區 −X	30°, 0°	7,899	(+0.58, +5.34, +0.33)	−1.85…+3.00	+2.92…+7.78	−0.85…+1.52
二區 −Y	30°, 90°	7,891	(−4.65, −22.12, +0.33)	−7.08…−2.22	−24.54…−19.70	−0.85…+1.52
三區 +X+Y	30°, −135°	7,931	(+32.53, −16.11, +0.11)	+30.11…+34.95	−18.53…−13.69	−1.19…+1.41
三區 −X+Y	30°, −45°	7,956	(+16.81, +9.84, +0.11)	+14.39…+19.23	+7.41…+12.27	−1.19…+1.41
三區 −X−Y	30°, 45°	7,954	(−9.14, −5.89, +0.11)	−11.58…−6.72	−8.31…−3.46	−1.18…+1.41
三區 +X−Y	30°, 135°	7,956	(+6.58, −31.83, +0.11)	+4.15…+9.01	−34.26…−29.41	−1.19…+1.41

• 水平偏移大：切削面上最多 35.0 µm（三區 +X+Y）；整個 TCP 段最多 40.5 µm，出在第 2935 行（G00 Z60），刀尖升到 z 60 mm，角度誤差的槓桿變長。這些偏移讓每一行的球沿行（x）與跨行（y）移動。平面在自己的面內移動，高度不變，但兩趟的稜會因此錯開（見下面〈Diff 的盒內平均為什麼不等於面高〉）。
• 垂直偏移小：最多 1.52 µm。它在一區之內隨位置線性變化，就是面的傾斜。刀尖的 Δz 不是面高：傾斜區還要加上刀軸方向改變的那一份 r(a′z − az)。
• 格距不改變逐步序列：1 mm 修剪趟與 0.25 mm 整案的刀尖、機械座標與程式行逐步相同（名目、對照、開、不標記都是）；只有 IsTouched 不同：1 mm 時碰到料的步比較少（名目 21,524 步，整案 70,307 步），所以名目與對照有 48,783 步不同，開 47,937 步，不標記 48,328 步。

誤差項開、有標記（控制器不知道誤差）：TCP 段 74,661 步的刀尖偏移（開那一趟減名目那一趟同一點，程式座標），對預測 d = W⁻¹W₀(P + g) − P。水平最多 40.5 µm（在離開工件面的移動上，刀尖高到 z 60 mm，角度誤差的槓桿較長；切削面上的步最多 35.0 µm），垂直最多 1.52 µm；每一步與預測相差不到 7.4×10⁻¹² mm。每一區內的鋸齒，是 zigzag 每一行的來回。HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項），0.25 mm。

TCP 段外的 143 步（每一趟都一樣多）：計畫的逐步式子，是控制器在 TCP 下逐步解名目鏈時的式子（x＝R_B R_C (P + g)），標準 5、6 卻寫「每一步」。這裡的 TCP 段是第 12–2935 行：G43.4 生效、從換刀位置接近完之後，到 G49 之前。第 11 行的接近段雖然也在 G43.4 下，機械座標差卻從 0 直線混合到第一個 TCP 值，所以和換刀、G49 之後的移動列在一起。這三段各有自己的規則，每一步仍然滿足鏈（刀尖＝W⁻¹(機械刀尖)，相差不到 1.8×10⁻¹³ mm）。

段	行	步數	開那一趟的機械座標差	規則的殘差
換刀	第 7 行 T1 M06	1	0：機械的固定位置	0
接近	第 11 行，G43.4 後的第一段快移	119	從 0 直線混合到第一個 TCP 值 (11.700, −10.996, −0.647) µm	≤ 9.2×10⁻¹⁴ mm
G49 之後	第 2937 行 G00 Z200. B0. C0.	23	只有 Z，從 −8.585 直線混合到 −0.647 µm；X、Y 停在 (−13.575, −0.497) µm	≤ 7.2×10⁻¹⁵ mm

eLp、eLm 的接近段，機械 Z 從 0 直線混合到 ±0.010 mm，所以標準 5 的「G43.4 生效後每一步 Z ±0.010 mm」，在這 119 步差到 0.00992 mm。

區高：球路徑的面高變化落在預測上

標準 8–10 讀的是 Diff 的盒內平均：切出的工件每個頂點到名目工件的有號距離，在盒內取平均。這個量讀到的是每步一顆球留下的稜（難題 6）。要看誤差讓面升降多少，另外從逐步序列算面高變化：

• 把兩趟每一步的刀尖經各自的鏈換成球心（球心＝刀尖 + r·a′）；
• 球沿每一行掃出連續的包絡，也就是球路徑掃出的面；
• 在量測盒內密集取樣，取兩趟的面之差的平均。

這就是計畫預測的量。檢查腳本在共用伺服器上算過一次，分析再重算一次，兩者相差不到 5×10⁻⁷ µm。正號＝開那一趟的面比名目高（殘料，Diff 上是藍）。

區	盒內頂點	計畫的盒內預測	面高變化	相對中央區	定點模型	每步一顆球：面積平均	Diff 盒內平均（頂點）	48↔49 的行
I	4,088	−0.00001	−0.0002	0	+0.00001	+0.0007	−0.054	0
二區 +X	2,753	+0.4291	+0.4326	+0.4329	+0.4330	+0.435	+0.080	0
二區 +Y	2,802	+0.4298	+0.4328	+0.4331	+0.4330	+0.431	+0.151	0
二區 −X	2,883	+0.4324	+0.4329	+0.4331	+0.4330	+0.416	+0.313	7
二區 −Y	2,817	+0.4318	+0.4327	+0.4330	+0.4330	+0.432	+0.239	0
三區 +X+Y	2,263	+0.2297	+0.2337	+0.2340	+0.2340	+0.151	−0.079	54
三區 −X+Y	2,318	+0.2321	+0.2340	+0.2342	+0.2340	−0.204	−0.507	58
三區 −X−Y	2,363	+0.2335	+0.2339	+0.2341	+0.2340	−0.240	−0.602	67
三區 +X−Y	2,299	+0.2311	+0.2337	+0.2339	+0.2340	+0.390	+0.223	70

單位 µm（頂點與行數除外）。量測盒：中央區 14 × 14 mm，二區 11 × 14 mm，三區 11 × 11 mm（各離相鄰區內縮 1 mm）。「48↔49 的行」是這一區裡兩趟步數不同的行數（每區 161 行）。

• 面高變化與計畫的盒內預測相差不到 0.0040 µm，相對中央區不到 0.0043 µm。
• 同型四區一樣：量到的極差 0.00026／0.00026 µm。計畫的盒內預測自己反而有 0.0033／0.0037 µm 的極差：它算的是「名目最低點在盒中心的那一顆球」，量到的是「盒中心那個位置」的面。每一區的面也傾斜（下一節），每顆球又在面上側移最多 35.0 µm，兩者因此差到 0.0043 µm。照同一條鏈、在固定位置算的「定點模型」，四個二區都是 +0.43296 µm、四個三區都是 +0.23398 µm，量到的與它相差不到 0.0004 µm（難題 7）。
• Diff 的盒內平均 −0.602…+0.313 µm，離面高變化最多 0.836 µm（三區 −X−Y）；原因見下面。

九區的「量測 − 計畫預測」，四趟。實心點：兩趟球路徑掃出的連續面，在整個量測盒內的平均高度差（開 0.0040 µm 以內，刀長 ±10 µm 0.00024 µm 以內）；×：兩趟「每步一顆球」的面在盒面積上的平均差；空心圈：網格距離的盒內平均，也就是標準 8–10 讀的量，開那一趟離面高變化最多 0.84 µm。不標記那一趟，計畫只預測刀尖與名目相同（面高變化因此是 0），量到 +0.050 µm，菱形是事後推出的解釋 r(a′z − az) + e_z。下排把實心點放大到 ±0.06 µm，計畫的容許帶（開 0.03 µm、刀長 0.01 µm）才看得見。正負同權重，橫軸對稱。HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項），0.25 mm。

誰造成的：八個誤差各自單獨放、各打自己的對刀工作偏移，由預測腳本在第一次播放前算出（論文 40 × 40 mm 視窗內各區那一塊的形心，相對中央區，µm）：

誤差（表 5）	值	二區	三區	怎麼來的（推出）
δx_BY	2.0 µm	+1.000	+1.000	2.0 µm × sin 30°
δy_BY	−11.0 µm	0.000	0.000
δz_BY	−0.647 µm	−0.087	−0.087	−0.647 µm × (1 − cos 30°)
α_BY	0.0017°	+0.000003	+0.000004
β_BY	0.0019°	−0.464	−0.657	區中心離樞軸的距離（14／19.8 mm）乘 0.0019°（33.2 µrad）
γ_BY	0.0210°	−0.0005	−0.0006
α_CB	−0.0054°	0.000	0.000
δx_CB	9.7 µm	0.000	0.000
八個一起（四區平均）		+0.447	+0.255	八個各自相加，與一起放相差不到 0.003 µm（交叉項）

工件中心在 C 軸上、頂面在樞軸的高度，所以 α_BY、γ_BY、δy_BY、α_CB、δx_CB 只讓零件水平移動，或沒有槓桿。沒有對刀時，中央區本身就會高 +0.648 µm（主要是 δz_BY：工件低了 0.647 µm，刀就少切那麼多）；打入的對刀值把它消掉，相對中央區的高度幾乎不變（不對刀時也是 +0.447／+0.255 µm）。

表 5 的八個誤差各自單獨放進誤差項時（各打自己的對刀工作偏移；預測腳本在第一次播放前算，各區量測部分的形心），二區、三區相對中央區的變化：δx_BY +1.000、β_BY −0.464／−0.657、δz_BY −0.087 µm，其餘五個各 0.001 µm 以下；八個一起 +0.447／+0.255 µm。量測盒的中心比形心更往外（x 或 y 在 ±14.5 mm，形心在 ±14 mm），傾斜的面在那裡較低，所以盒內的預測是 +0.4291…+0.4324／+0.2297…+0.2335 µm。

每一區的面也傾斜

誤差不只讓每一區的面升降，也讓它傾斜。把開那一趟的面高變化在九個量測盒裡逐點畫出來，每一盒都是一個斜面：

• 盒中心到最遠的兩角，面升降 ±0.68（中央區）、±0.98–0.99（二區）、±0.89 µm（三區）；一角到對角最多差 1.97 µm。
• 量到的斜率與模型相差不到 0.0003 µm/mm（0.3 µrad）。
• 盒內平均就是盒中心的值，所以論文讀的區平均看不到這種傾斜。

在二區、三區讓面傾斜最多的 γ_BY 與 α_CB，都不移動區平均（中央區的傾斜主要來自 α_CB；γ_BY 不讓中央區傾斜）。各誤差單獨放時，盒中心到最遠的角的升降（模型，µm）：

誤差	中央區	二區	三區	對區平均的影響
α_BY	±0.21	±0.18	±0.20	≤ 0.0000042
β_BY	±0.23	±0.18	±0.26	−0.464／−0.657
γ_BY	0	±1.28	±1.43	≤ 0.0007
α_CB	±0.66	±0.66	±0.73	0
八個一起（模型）	±0.68	±0.99	±0.89
八個一起（量到，平面擬合）	±0.68	±0.98–0.99	±0.89

δx_BY、δy_BY、δz_BY、δx_CB 只平移，不讓面傾斜。

誤差項開：九個量測盒裡每一點的面高變化（兩趟球路徑的連續面相減，µm；藍＝比名目高、紅＝比名目低，色階對稱）。盒中心的數字是盒內平均，也就是論文讀的量；但角度誤差也讓每一面傾斜，盒內一角到對角差到 1.97 µm（盒中心到最遠的角：中央區 ±0.68、二區 ±0.98–0.99、三區 ±0.89 µm），與預測的斜率相差不到 0.0003 µm/mm。HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項），0.25 mm。

刀長：控制器記的刀長多或少 10 µm

控制器記的刀長比實際多 10 µm（eLp）時，TCP 把主軸多抬 10 µm：TCP 段每一步的機械 Z 都高 +0.010 mm，X、Y、B、C 不變（這台雙轉台機的刀軸就是機械 +Z）。實際刀尖沿刀軸停在程式點上方 eL·a 處：中央區留料 10 µm，傾斜 30° 的區只留 10 cos 30°＝8.660 µm，所以傾斜區比中央區低 1.340 µm。少 10 µm（eLm）正好反過來。

	中央區	四個二區	四個三區	相對中央區（二區／三區）
eLp：面高變化	+10.0000	+8.6603	+8.6600	−1.3397／−1.3400
eLm：面高變化	−10.0000	−8.6603	−8.6605	+1.3397／+1.3395
預測 ±eL·cos B	±10.0000	±8.6603	±8.6603	∓1.3397
eLp：Diff 盒內平均	+9.999	+8.569…+8.623	+8.372…+8.784	−1.627…−1.215（八個傾斜區）
eLm：Diff 盒內平均	−10.000	−8.724…−8.697	−8.907…−8.663	+1.092…+1.337（八個傾斜區）

單位 µm。面高變化與預測相差不到 0.00024 µm；Diff 的盒內平均散開，是因為這兩趟也有 48↔49 的行（eLp 176 行、eLm 226 行），讀到的又是稜（難題 4、6）。論文的值放在下面〈與論文比〉。

整塊俯視（+Z；+X 向右、+Y 向上），原地交替「控制器刀長多 10 µm」與「控制器刀長少 10 µm」。多 10 µm：全藍（殘料），中央區深（+10.00 µm）、傾斜各區淺（+8.66 µm），步數不同的行有點狀的稜；少 10 µm：全橙（過切），中央區深（−10.00 µm）、傾斜各區淺（−8.66 µm）。兩種深淺之差就是那 1.34 µm。Diff 色階 ±0.012 mm（紅＝過切、藍＝殘料、綠＝0，正負同權重）；0.25 mm；HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項）。

斜視（從 −X −Y 角的上方看，遠端角落在畫面外），原地交替「控制器刀長多 10 µm」與「少 10 µm」：中央區比傾斜各區深一階；側面沒有切到，是綠的。色階、格距與版本同上。

控制器知道誤差（不標記）：刀尖差 5.85 nm，傾斜區的面高 0.050 µm

這一趟清掉兩條標記，開關仍開著：機台還是那一台有誤差的機台，但控制器的模型裡有了這兩個誤差，就像運動學校正過的控制器。它打入與開那一趟同一個對刀值 g。

• 刀尖：TCP 段每一步都在 P + e，e＝(4.010, 4.246, 0.323) nm，|e|＝5.85 nm。它是定值，全段變動不到 6.6×10⁻¹² mm，等於 (I − R0⁻¹)g，相差不到 5.4×10⁻¹² mm；R0 是兩條誤差在 B＝C＝0 時合起來的旋轉。換句話說：打入的 G54 是在台面座標裡加上的，沒有把 R0 轉回去。這是二階項，與 |g| × 0.021154°＝5.93 nm 同量級。計畫寫的是刀尖與名目相同（標準 6，1×10⁻⁹ mm 以內），這一半沒過。
• 傾斜區的面高 +0.0500 µm（八個傾斜區 +0.049985…+0.050065 µm），中央區 +0.0002 µm。G43.4 下的 B、C 是程式直接下的角度：校正過的控制器把刀尖放回程式點，但刀軸在零件上的方向仍照這兩個角度、經過誤差轉動，是 a′ 而不是 a。球心＝刀尖 + r·a′，所以球的最低點升降 r(a′z − az)。用預測腳本的鏈算：傾斜區 e_z 0.0003 + r(a′z − az) 0.0497＝0.0501 µm，每一個傾斜區、每一個 C 都一樣；中央區 0.0003 µm。
• 機械座標：不標記那一趟的 X、Y、Z，與名目那一趟（G54 為 0）同一點相差 W(P + e) − W₀P，最多 (15.6, 25.2, 6.5) µm（與模型相差不到 5.4×10⁻¹² mm）。不知道誤差的控制器（標記、同一個 g）每一區差一個定值 R_B R_C g，最多 (16.0, 16.1, 8.6) µm。兩者之差，就是運動學校正讓線性軸站的位置不同；兩趟的 B、C 相同。
• 切出的面：Diff 上，每一行兩趟步數都相同的中央區與二區 +Y 全綠；二區 −Y 只有 4 行點狀的稜；兩趟步數不同的行（不標記與名目之間共 367 行）成了碎點。

控制器知道誤差（不標記）時，線性軸站的位置。每一步的機械 X、Y、Z 減名目那一趟同一點：不知道誤差、打入同一個對刀 G54 的控制器（標記），每一區是一個常數，等於 G54 經名目 B、C 轉過；知道誤差的控制器是 W(P + e) − W₀P，最多 (15.6, 25.2, 6.5) µm，與預測相差不到 5.4×10⁻¹² mm。B、C 不變，刀尖回到 P + (4.010, 4.246, 0.323) nm。點是量到的，黑線是預測。HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項）。

整塊俯視（+Z；+X 向右、+Y 向上），同一鏡頭原地交替「控制器不知道誤差（標記）」與「控制器知道誤差（不標記）」。不標記：中央區與二區 +Y 全綠，二區 −Y 只有 4 行點狀的稜；二區 −X、+X（66、70 行）與三區（各 31–89 行）兩趟步數不同的行成了碎點。刀尖只差 5.85 nm、傾斜區的面只高 +0.050 µm，畫面上剩下的是步與步錯開的稜。標記：如下面開／關那一組。Diff 色階 ±0.003 mm（紅＝過切、藍＝殘料、綠＝0，正負同權重）；0.25 mm；HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項）。

俯視放大（中央區在中間，左右是二區 −X、+X，上下是二區 +Y、−Y 與四個三區的一部分），原地交替「標記」與「不標記」：不標記那一幀中間的中央區全綠，下方點狀的稜是二區 −Y 步數不同的那幾行，左右的二區 ±X 是碎點；標記那一幀是漸層與直紋。白色光斑是畫面的燈光。色階、格距與版本同上。

斜視（從 −X −Y 角的上方看，遠端角落在畫面外），原地交替「標記」與「不標記」：不標記大片綠，只剩步數不同那些行的碎點；標記是各區的直紋、碎點與漸層。色階、格距與版本同上。

Diff 的盒內平均為什麼不等於面高

• 每一步一顆球。 運動解析度是每轉進給時，HiNC 把刀放在每一步的姿態上，不在步與步之間掃掠。切出的工件，頂點落在「每一步姿態上那顆球」的聯集上：每一盒都有至少 99.8% 的頂點與這個聯集相差不到 0.0001 µm。
• 稜與扇貝。 一行上相鄰兩步相隔 1/3 mm，兩顆球之間留下 4.63 µm 的稜（49 步的行是 4.45 µm）；相鄰兩行相隔 0.1 mm，留下 0.42 µm 的扇貝（推出：r − √(r² − (s/2)²)，r＝3 mm，s 是步距或行距）。
• 兩趟的球落在不同的位置。 一行 48 對 49 步時，兩趟在同一行上的球位置不同；開那一趟各傾斜區的球還整行沿 X 偏了（各區平均 0.6–32.5 µm，最多 35.0 µm）。在量測盒內的頂點上，兩個帶稜的面相減，在 −5.19 與 +4.99 µm 之間擺盪（開）。
• Diff 的盒內平均是頂點的平均。 它等於兩個聯集在同一批頂點上的差（開 0.020 µm 以內，其他趟 0.00051 µm 以內），而頂點並不均勻地取樣這個帶稜的面。

把盒內平均拆開來看（四趟、36 個盒）：

	盒數	每步一顆球的面積平均 − 面高變化	Diff 盒內平均（頂點）− 面高變化
每一行兩趟步數都相同的盒	12	≤ 0.0027 µm（取樣標準誤差 ≤ 0.0033 µm）	−0.352…+0.0003 µm
有 48↔49 互換的行的盒	24	−0.474…+0.434 µm	−0.836…+0.547 µm

• 每一行兩趟步數都相同時，兩個帶稜的面在面積平均上，就等於面高變化。
• 有 48↔49 互換的行時，連面積平均都偏：那幾行的稜高低不同，又與鄰行錯開。
• 頂點平均在這之上再偏一次，連步數相同的盒也偏到 −0.352 µm（開，二區 +X：那裡每顆球沿行平均偏了 22.8 µm）。

所以標準 8–10 沒過，是因為逐步模擬（球不掃掠、行的步數捨入成 48 或 49）與頂點取樣，不是誤差項或預測錯了。面高變化的算法也另外驗過：對每一顆球的完整算法，與這裡用的快速算法（0.6 mm 的窗、最近的 24 顆球），在每一趟 2,400 個點與整面 1,500 個點上逐點相同，相差不到 4.5×10⁻¹⁶ mm。

為什麼 Diff 的盒內平均不等於面高變化：切出的工件的頂點落在每一步刀具姿態上那顆球的聯集上（每一盒至少 99.8% 的頂點相差不到 0.0001 µm），相隔 1/3 mm 的球之間留下 4.63 µm 的稜。三區 −X−Y 沿 y＝−14.5 mm 的一行，兩趟的球落點錯開，聯集相減在 −4.5 與 +1.8 µm 之間擺盪，包絡相減卻只有 +0.19 µm。右：這一盒 2,363 個頂點的網格距離，平均 −0.602、每步一顆球的面積平均 −0.240、面高變化 +0.234、預測 +0.233 µm。正＝殘料、負＝過切，橫軸對稱。HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項），0.25 mm。

對照趟與 Diff 畫面

• 對照趟就是名目再播一次：它的逐步序列（刀尖、機械座標、程式行）與名目相同，碰到料的步數也一樣（70,307 步）；切出的工件 57,523 個頂點，與名目工件相差不到 5.0×10⁻¹⁰ mm（最大 4.96×10⁻¹⁰ mm）。這就是雜訊底。
• 整個零件的極值（開對名目）：切削面上 −5.25…+4.99 µm，與步姿模型在切削面上讀到的極值相差不到 0.00051 µm；它們在 6 µm 的門檻以下，沒有用精確距離核。塊邊（|x| 或 |y|＝24 mm）有 185 個頂點讀到 6.02–8.57 µm：精確核過是真的距離，但步姿模型在那些頂點只讀到 +0.02…+1.62 µm。兩份網格表示這條 90° 邊的方式不同，不是面的偏差（難題 9）。
• 兩個沒切到的側面：各 3 個頂點，d＝0。

下面三張是同一個鏡頭下原地交替的畫面：誤差項開（有標記）與誤差項關（對照）。畫面是把那一趟記下的毛胚連同 Diff 放回畫布拍的，不是重播。畫布的擷取上沒有介面文字：中、英兩種介面拍到的畫布逐位元組相同，只有左上角的標籤隨語言不同；Df 色條在角落。

整塊俯視（+Z；+X 向右、+Y 向上），同一鏡頭原地交替「誤差項開」與「誤差項關」。開：中央區只有一片緩的漸層（誤差讓面微傾，盒內 ±0.68 µm）；二區 +X、+Y 的球沿行平均移了 23–28 µm，每 1/3 mm 一條直紋；二區 −Y（平均 4.6 µm）紋淡；二區 −X（0.6 µm）是漸層，下緣一排點是它步數不同的 7 行；三區各有 54–70 行兩趟步數不同（48 對 49），成了碎點。紋與點最多約 ±5 µm，都是每步一顆球的稜錯開，超出 ±3 µm 的色階而飽和。關：全綠。Diff 色階 ±0.003 mm（紅＝過切、藍＝殘料、綠＝0，正負同權重）；0.25 mm；HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項）。

俯視放大（中央區在中間，左右是二區 −X、+X，上下是二區 +Y、−Y 與四個三區的一部分），原地交替「誤差項開」與「誤差項關」。開：中間的中央區是漸層，右邊的二區 +X 直紋，左邊的二區 −X 是漸層、下緣一排點（它步數不同的 7 行），上下是二區 +Y 的直紋與二區 −Y 的漸層，四角是三區的碎點；白色光斑是畫面的燈光。關：全綠。色階、格距與版本同上。

斜視（從 −X −Y 角的上方看，遠端角落在畫面外），原地交替「誤差項開」與「誤差項關」。開：靠鏡頭的三區 −X−Y 是紅黃碎點，它的盒內平均 −0.602 µm 就是這些稜造成的；側面沒有切到，全綠。關：全綠。色階、格距與版本同上。

做 Diff 的八趟的 Diff--Stats

| 趟 | 回報的葉 | 比較前的表面葉 | 隨需展開 | 新節點 | NaN 葉 | 量到的量測線 | 沒量到的量測線 | 目標三角形 | | --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | | f-control | 65,359 | 58,935 | 2,768 | 9,192 | 0 | 187,378 | 173 | 113,502 | | f-on | 54,829 | 47,508 | 3,076 | 10,397 | 3 | 187,085 | 9,639 | 113,502 | | f-unmarked | 48,116 | 39,500 | 3,508 | 12,124 | 0 | 188,062 | 346 | 113,502 | | f-eLp | 48,116 | 39,500 | 3,508 | 12,124 | 0 | 188,404 | 4 | 113,502 | | f-eLm | 46,832 | 40,408 | 2,768 | 9,192 | 0 | 184,304 | 0 | 113,502 | | t-control | 4,752 | 4,752 | 0 | 0 | 0 | 17,408 | 3 | 8,866 | | t-on | 5,096 | 4,955 | 51 | 192 | 3 | 17,948 | 1,160 | 8,866 | | t-unmarked | 4,820 | 4,364 | 154 | 610 | 4 | 18,424 | 6 | 8,866 | - 名目趟不做 Diff。 - 開那一趟有 3 個 NaN 葉、9,639 條沒量到的量測線（對照是 0 與 173），紀錄沒有記它們在哪裡；這一頁的數字都不用 Diff 的葉，只用匯出的工件與逐步序列。 - 不標記與 eLp 的前四個數相同，對照與 eLm 的第三、四個數相同；原因沒有查。

與論文比

區（論文的區名）	這裡：表 5 八個誤差，面高變化相對中央區	論文圖 11a（模擬）	論文圖 7a（實測）	圖 7a − 圖 11a
I	0	0	0	0
二區 +X（II-3）	+0.433	−0.1	+4.5	+4.6
二區 +Y（II-4）	+0.433	+0.1	+4.4	+4.3
二區 −X（II-1）	+0.433	−0.8	+5.7	+6.5
二區 −Y（II-2）	+0.433	−1.1	+5.9	+7.0
三區 +X+Y（III-3）	+0.234	+0.9	+6.1	+5.2
三區 −X+Y（III-4）	+0.234	+0.1	+5.8	+5.7
三區 −X−Y（III-1）	+0.234	−1.4	+4.9	+6.3
三區 +X−Y（III-2）	+0.234	−0.6	+5.7	+6.3

區	這裡：刀長多 10 µm	論文表 6（模擬，+10 µm）	論文表 3（實測，+10 µm）	這裡：刀長少 10 µm	論文表 6（−10 µm）	論文表 3（−10 µm）
二區 +X（II-3）	−1.340	−1.3	−2.4	+1.340	+1.3	+2.0
二區 +Y（II-4）	−1.340	−1.3	−3.6	+1.340	+1.4	+1.0
二區 −X（II-1）	−1.340	−1.3	−3.7	+1.340	+1.3	−0.5
二區 −Y（II-2）	−1.340	−1.3	−4.0	+1.340	+1.4	+0.8
三區 +X+Y（III-3）	−1.340	−1.3	−2.9	+1.340	+1.3	+1.5
三區 −X+Y（III-4）	−1.340	−1.3	−2.0	+1.340	+1.3	+1.5
三區 −X−Y（III-1）	−1.340	−1.3	−2.2	+1.340	+1.4	+2.9
三區 +X−Y（III-2）	−1.340	−1.3	−2.4	+1.340	+1.4	+1.1

單位 µm，都是相對中央區。論文的值是它的圖與表印出的數字（圖 7、圖 11 的格子印的是 mm，這裡換成 µm）。式 (2) 的 (1 − cos 30°)·eL＝1.3397 µm。

• 模擬（圖 11a）：論文 −1.4…+0.9 µm，各區不同；這裡 +0.234…+0.433 µm，同型四區一樣。差在工件相對 B、C 軸放在哪裡、角度誤差繞哪一點轉，論文兩者都沒給：這裡工件中心在 C 軸上、頂面在兩軸線交點的高度，八個誤差裡有五個沒有槓桿（難題 1）。論文的工件放在哪裡不知道，所以只能定性地比。
• 正負號（難題 2）：照論文式 (4) 的字面，把八個值全部反過來放，區高相對中央區會反號：二區 −0.452…−0.449、三區 −0.260…−0.257 µm。哪一種讀法都對不上圖 11a 的圖樣，這一頁不說「與論文同號」。
• 實測（圖 7a）：+4.4…+6.1 µm；減掉論文自己的模擬，每一區還剩 +4.3…+7.0 µm。作者在第 5 節量到球刀的刃形在 0° 與 30° 處差約 4 µm（圖 13），用它解釋這約 5 µm 的差。模型裡的球是完美的，這一份不在這個案例裡。
• 刀長：這裡每一個傾斜區，刀長多 10 µm 時是 −1.3397…−1.3400 µm、少 10 µm 時是 +1.3395…+1.3397 µm，與式 (2) 的 1.3397 µm 一致；論文表 6 是 −1.3（+10 µm，每一區）與 +1.3 或 +1.4（−10 µm，有四區是 +1.4）。論文實測的變化（表 3）是 −4.0…−2.0 與 −0.5…+2.9 µm，作者說還有其他因素。
• 論文的區名：表 3、表 6 用 ZONE II-1…III-4，沒說是哪一區。把表 3 對上圖 7 各區的差（b 減 a、c 減 a），八個數只有一種對法：II-1…II-4＝−X、−Y、+X、+Y，III-1…III-4＝−X−Y、+X−Y、+X+Y、−X+Y（圖的 x 向右、y 向上）。用同一套名字，表 6 正好等於圖 11 (b)、(c) 減 (a)。表 6 的標題寫 (experiment)，內文卻是第 4.3 節的模擬。

九區相對中央區的高度（µm），3 × 3 並排：這裡表 5 的八個誤差 +0.234…+0.433，同型四區一樣；論文的模擬（圖 11a）−1.4…+0.9，各區不同；論文的實測（圖 7a）+4.4…+6.1。刀長 ±10 µm：這裡每一個傾斜區 −1.340／+1.340，論文實測的變化（表 3）−4.0…−2.0 與 −0.5…+2.9。藍＝比中央區高、紅＝比中央區低，色階對稱、各圖共用。這裡的值是球路徑的面高變化（盒內平均）。論文的數字取自 Li 等，J. Manuf. Mater. Process. 5, 51（2021），圖 7、圖 11、表 3、表 6，CC BY 4.0。HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項）。

刀把

頁首的前視與下面的等角視，都是把開那一趟記下的毛胚放回畫布，在打入的 G54 下播放停刀程式 NC/pose-t1.nc：T1 以 B30 C180 傾 30°，刀尖在 z 2.4019 mm，球的最低點在二區 +X 中心上方 2 mm。前視看得到刀具、頸、刀柄與熱縮刀把（SK40 本體的上端被畫面切到）；等角視幾乎順著刀軸看，刀被 SK40 本體擋住。十趟的專案都開著碰撞偵測，沒有任何碰撞訊息。

同一個停刀姿態的等角視（不切削）。這個角度幾乎順著刀軸看：SK40 本體的圓盤擋住了球刀、頸、刀柄與細長的熱縮頸，只在圓盤右下露出一小截；刀與刀把的全貌見頁首的前視。工件上疊著開那一趟的 Diff，色階 ±0.003 mm（紅＝過切、藍＝殘料、綠＝0，正負同權重）：頂面九區的紋與點見〈對照趟與 Diff 畫面〉；側面沒有切到，全綠。0.25 mm；HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項）。

執行成本

以下都在共用的 32 執行緒伺服器上，用 HiNC 3.2.46 開發版（含誤差項）的私有實例，一次一趟，照播放的順序。

播放	格距	開關／標記	步數	牆鐘	記憶體峰值（VmHWM）
t-nominal	1 mm	關	74,690	90.1 s	1.332 GiB
t-on	1 mm	開／有標記	74,804	90.1 s	1.344 GiB
t-control	1 mm	關	74,690	90.1 s	1.339 GiB
t-unmarked	1 mm	開／清掉	74,821	90.1 s	1.275 GiB
f-nominal	0.25 mm	關	74,690	90.1 s	1.445 GiB
f-control	0.25 mm	關	74,690	90.1 s	1.460 GiB
f-unmarked	0.25 mm	開／清掉	74,821	90.1 s	1.495 GiB
f-eLp	0.25 mm	關，刀長多 10 µm	74,722	90.1 s	1.506 GiB
f-eLm	0.25 mm	關，刀長少 10 µm	74,712	85.1 s	1.429 GiB
f-on（重播的那一次）	0.25 mm	開／有標記	74,804	90.1 s	1.435 GiB

• 記憶體峰值：每一趟開始前都重啟實例，所以 VmHWM 是那一趟自己的峰值，包括 Diff、匯出與毛胚紀錄（GiB＝bytes ÷ 2³⁰）。做 Diff 的整案趟，比不做 Diff 的名目趟多 −0.016…+0.061 GiB：看不出 Diff 的成本。
• 牆鐘：從要求開始播放，算到第一次讀到 Finished 的輪詢；輪詢每 5 s 一次，十趟裡九趟都落在同一個輪詢點 90.1 s。起訖時間戳（到秒）是 87–93 s，包括播放、匯出切出的工件、Diff 與紀錄。
• 時間線（2026-10-07）：修剪 04:44:15–04:50:34，整案 04:58:39–05:08:04，開那一趟為證據腳本重播 05:18:49–05:20:21。
• 格距：從 1 mm 細到 0.25 mm，每趟時間不變，記憶體峰值從 1.275–1.344 GiB 變成 1.429–1.506 GiB。
• 基底的 1 mm 粗跑：74,690 步、90 s；程式的循環時間是 12 分 15 秒。
• 分析：在一般桌機上從零重算每一個數約 6 分鐘，有快取時 1–5 分鐘，記憶體 400 MB 以下。

它說明了什麼

給加工工程師。

• 一台 B/C 雙轉台五軸機上，球桿量到的八個旋轉軸誤差，在立方加工試驗上只讓二區、三區比中央區高 0.43、0.23 µm，前提是工件中心在 C 軸上、頂面在 B、C 軸線交點的高度。「高」是照計畫的正負號讀法；照論文式 (4) 的字面放，會反過來，變成比中央區低（難題 2）。其中 δx_BY（B 軸線沿 X 偏 2 µm）一個就給 +1.0 µm，β_BY 再拿掉 0.46–0.66 µm，δz_BY 再拿掉 0.09 µm。工件放在別處，現在沒有槓桿的五個誤差就會出現。
• 區平均看不到面的傾斜：同一組誤差讓每一區在盒內一角到對角差到 1.97 µm，主要來自 γ_BY 與 α_CB，而它們對區平均幾乎是 0。只讀區平均的試驗會漏掉它們。
• 控制器的刀長差 10 µm，傾斜 30° 的區相對中央區正好差 1.34 µm（論文的式 (2)），比這組機台誤差在這裡造成的區高差（0.23–0.43 µm）大三倍以上。
• 運動學校正過的控制器在 G43.4 下把刀尖放回，但刀軸方向仍帶著誤差：這一組誤差下，傾斜區還高 0.05 µm。
• 論文量到的 4.4–6.1 µm，大部分不是機台的幾何誤差：模擬只說明了 1 µm 級，作者把其餘歸給刃形。
• 在 HiNC 裡，可以把一台機台的球桿量測結果放進它的模型，上機之前就看到它在自己零件上的形狀與大小，控制器知道與不知道這些誤差的兩種情形都看得到。

給老師與學生。

• 誤差怎麼經過運動鏈變成刀尖偏移 d＝W⁻¹W₀(P + g) − P；對刀為什麼只在 B＝C＝0 抵銷誤差；General Transform 先轉再平移，所以對刀值是 t_B + Rot_B·t_C。
• 角度誤差的效果，看它繞哪一點轉、零件離那一點多遠：β_BY 在二區是 14 mm × 0.0019°＝0.46 µm。
• 球刀切平面時，面高＝球心高 − r：刀尖的偏移與刀軸方向的改變，各貢獻多少（d_z + r(a′z − az)）。
• 為什麼每轉一步的模擬會留稜（f²/8R，步距 1/3 mm 時 4.63 µm），而 Diff 的頂點平均讀到的是稜：寫標準之前，先估稜高。

給評估這種做法值不值得的人。

• 成本：從論文的數字新建基底（毛胚、程式、機台與刀具設定），另存出誤差項專案，再加十趟播放，每趟約 90 s、最多 1.506 GiB。
• 預測在第一次播放前寫好：TCP 段每一步的刀尖對到 7.4×10⁻¹² mm，球路徑的面高對到 0.004 µm，刀長效應對到 0.00024 µm。
• 沒中的地方都照量到的寫：十二條標準有六條照寫失敗，原因都量到並寫明。計畫沒料到 HiNC 怎麼做步（一行 48 或 49 步、不掃掠），只寫了 TCP 段的式子，對不標記那一趟的預測也沒中。與論文的比較也照實寫：這個案例說明不了論文量到的 4.4–6.1 µm。

誠實的限制

• 誤差項只放得下常數。 表 5 是球桿鑑別出的、與位置無關的誤差，正好放得進；論文那台機台隨位置變的誤差（定位、直線度、反向、伺服）與熱變形，都不在這裡（機台幾何誤差）。
• 工件的位置、樞軸與正負號是選的（難題 1、2）。在這個擺法下，有五個誤差沒有槓桿，圖 11a 的不對稱重現不了，與論文只能定性地比。
• 球是完美的。 論文第 5 節量到的刃形誤差（0° 與 30° 處差約 4 µm）不在模型裡；物理關，所以切削力造成的撓曲與熱也都不在；論文那一刀零切深沒有放。
• 刀長誤差只是控制器記的刀長（像軸向磨耗 ∓0.010 mm 那樣），不是熱伸長，也不是換刀的重複性。
• 每轉進給的步不掃掠：切出的面在一行上每 1/3 mm 有一道稜，Diff 的盒內平均讀到的是稜（難題 6）。面高變化是這個案例從逐步序列算出來的，HiNC 的 Diff 不會給。
• 面高變化與面積平均都是取樣：面高變化在每一盒內的密集格子上取樣（換成以盒中心為中心的格子，差到 0.0004 µm），面積平均每盒取 80,000 個隨機點（標準誤差最多 0.0048 µm）。0.0003 µm 級的差，在取樣誤差以內。
• NC 的刀尖高度只寫到 0.1 µm：傾斜區寫成 z 0.4019（精確值是 0.401924 mm），所以每一趟名目的傾斜區，相對中央區都比設計深 0.024 µm。兩趟相減時抵銷，不影響這一頁任何一個差值。
• 面上的極值沒有精確核過：塊邊超過 6 µm 的值，靠的是精確的點到三角形距離（難題 9）；面上的極值 −5.25…+4.99 µm 在門檻以下，與步姿模型讀到的相差不到 0.00051 µm。「塊邊的真距離來自兩份網格表示 90° 邊的方式不同」是推論。
• 開那一趟的 Diff--Stats 有 3 個 NaN 葉、9,639 條沒量到的量測線（對照是 0 與 173），紀錄沒有記它們在哪裡；這一頁的數字都不用 Diff 的葉。
• 刀具的其他尺寸、懸伸與刀把是選的；機台是通用的 B/C 雙轉台機，不是論文那一台；控制器的方言 Fanuc 是選的，論文沒寫。
• 不標記那 5.85 nm，來自控制器怎麼加上打入的 G54（難題 8）。量到了，也用鏈解釋了，但沒有和任何一台真實的控制器比過。
• 論文區名的對應是推出來的：表 3 對上圖 7 的差，只有一種對法；並假設論文圖上的 x、y 就是這裡程式座標的 x 向右、y 向上。
• 牆鐘時間每 5 s 輪詢一次：90.1 s 代表真正的長度在 85.1 與 90.1 s 之間（eLm 的 85.1 s 代表 80.1–85.1 s）。

讀者可以帶到自己案例的

• 先弄清楚工件相對旋轉軸放在哪裡，以及每個角度誤差繞哪一點轉。 角度誤差移動零件的量，是角度乘上它到樞軸的槓桿：工件中心在 C 軸上、面在兩軸線交點的高度時，表 5 的八個誤差裡有五個沒有槓桿，β_BY 在二區是 14 mm × 0.0019°＝0.46 µm。預測之前，把擺法與樞軸寫下來，並寫明是選的。
• 正負號的讀法，在第一次播放前定下。 論文裡誤差的定義可能兩種讀法都說得通；寫明放進去的是哪一種，另一種讀法的結果也一起給（難題 2）。
• 每根軸的誤差，放在手冊說的位置：一個誤差項，緊接在那根軸的連接之前（誤差項可以放在哪裡）。General Transform 先轉再平移：照這個順序推對刀值，並在任何播放之前，清掉標記用 P0 核對（難題 3）。
• 打入對刀會量到的工作偏移。 P0 在名目鏈上量（有誤差項的機台上的工作偏移）；在 B＝C＝0 對刀，只在那個姿態抵銷誤差。
• 用每轉進給播放時，寫標準之前先估稜高。 f²/8R 在 1/3 mm、R 3 mm 時是 4.63 µm，是要判的 0.23–0.43 µm 的十到二十倍；Diff 的盒內平均讀到的就會是稜。這種效應，用逐步序列或球路徑掃出的面來判。
• 兩趟步數不同時，以程式行配對。 一行的時長捨入成 48 或 49 個主軸週期，改一個誤差項、對刀值或刀長，都會翻掉一些行；照步序號配對，第一個翻掉的行以後全部錯位（難題 4）。
• 逐步的式子，只寫在它成立的那一段。 G43.4 下的刀尖式子，從接近段結束成立到 G49；換刀、接近段與 G49 之後的移動，各有自己的規則（難題 5）。
• 看每一面的平均，也看它的傾斜。 不動區平均的角度誤差，也能讓每一面在一盒內傾斜到 1.97 µm；把面高變化逐點畫出來。
• 校正過的控制器放回刀尖，放不回刀軸方向。 在 G43.4 下照程式的 B、C 走，球的最低點仍移動 r(a′z − az)（標記會改變什麼）。
• 網格距離的極值要用精確距離核。 這裡最大的讀數是塊邊 90° 邊上真的距離，是兩份網格表示這條邊的方式不同，不是切削。
• 先用粗的格距驗建置與式子。 1 mm 的趟與 0.25 mm 的逐步序列相同，每趟也一樣是 90 s。

來源與授權

試件、誤差與試驗條件出自這篇論文：

• 論文：Zongze Li, Hiroki Ogata, Ryuta Sato, Keiichi Shirase, Shigehiko Sakamoto, "Influence of Tool Length and Profile Errors on the Inaccuracy of Cubic-Machining Test Results", Journal of Manufacturing and Materials Processing 5(2), 51 (2021)，MDPI，2021-05-19 出版（神戶大學、金澤工業大學），https://doi.org/10.3390/jmmp5020051。連結失效時的搜尋詞：Influence of Tool Length and Profile Errors on the Inaccuracy of Cubic-Machining Test Results、jmmp5020051。
• 這個案例用到的部分：機台型式、試件與切削條件（第 2 節、圖 1、圖 2、表 1）；刀長的公式（第 3 節、式 (1)、(2)）；八個誤差與它們的定義（第 4.3 節、表 4、表 5、圖 9、式 (4)–(11)）；實測（圖 7、表 3）、模擬（圖 11、表 6）與刃形（第 5 節、圖 13）。

論文沒有提供資料（"The data presented in this study are not available."）；每一個值都出自它的內文、表格與圖上印出的數字。論文的機台是 DMG Mori NMV 1500 DCG，輪廓儀是 Kosaka DSF900，這裡寫出名稱只為說明數字的出處；這個案例兩者都沒有建模。

授權：創用 CC 姓名標示 4.0 國際（CC BY 4.0）。論文第 1 頁的聲明：

Copyright: © 2021 by the authors. Licensee MDPI, Basel, Switzerland. This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution (CC BY) license (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

CC BY 4.0 允許重製與改作，條件是標示出處、說明改了什麼、附上授權連結（第 2(a)(1)、3(a)(1) 節）；第 5 節免除擔保。

姓名標示，照案例的來源紀錄：

Measured data, errors and test conditions: Z. Li, H. Ogata, R. Sato, K. Shirase, S. Sakamoto, "Influence of Tool Length and Profile Errors on the Inaccuracy of Cubic-Machining Test Results", J. Manuf. Mater. Process. 5(2), 51 (2021), https://doi.org/10.3390/jmmp5020051. © 2021 by the authors, licensee MDPI, Basel, Switzerland. Licensed CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), provided as-is without warranties. Changes: the part model, the NC program, the machine and the HiNC project are ours, built from the article's description (see "What we changed").

我們改了什麼（來源紀錄的 "What we changed"）：

• 機台：通用的 B/C 雙轉台機，不是論文那一台；切完的面放在它 B、C 軸線交會的高度，中心在 C 軸上（程式零點）。
• 零件：48 × 48 × 30 mm 的塊，頂面留 0.1 mm 要切，放在 70 mm 的墊塊上。
• NC 程式（Fanuc，G43.4）：我們照論文的描述寫的；區的順序、起點與區間的移動是選的，零切深的第二刀沒放（每一趟都是物理關）。
• 刀具與刀把：論文的 DLC2MBR0300 給了直徑、刃數與螺旋角；刃長、頸長與全長、懸伸與刀把是選的。
• 誤差：表 5 的八個值做成兩條標記的誤差項，一條緊接在 B 軸的連接之前、一條緊接在 C 軸的連接之前；角度繞的那一點（B、C 軸線交會處）、正負號的讀法與對刀值，都是代理選的。

畫面與圖表。 這一頁沒有重製論文的任何圖，只用它印出的數字（表 3–6，以及圖 7、圖 11 格子裡印的值）。畫面都是 HiNC 的擷取，圖表畫的是 HiNC 的逐步結果、切出的工件網格，以及論文印出的數字。一切都是仿真，沒有實際切削。作者與 MDPI 沒有參與這個案例，也沒有為它背書。本站不提供下載；請到出版社取得論文。

另見

• 建立虛擬工具機：誤差項——誤差項可以放在哪裡、標記會改變什麼、啟用誤差項開關，以及有誤差項的機台上的工作偏移
• 運動拓樸：誤差項連接 (Error-Term Branches)（英文，未鏡像）——控制器求解的名目鏈，以及它看得到哪些誤差
• 模型之外的加工問題：機台幾何誤差——模型放不進的機台誤差
• 工作流程：幾何驗證——幾何差異比對、偵測半徑與色階
• 程式原點對齊——P0，以及手動打入量到的工作偏移
• NIST 圓錐台：C 軸中心偏 10 µm——另一台 RTCP（G43.4）下的雙轉台機，也打入了對刀的工作偏移
• 17 吋鍛造鋁圈：C 台中心偏 20 µm——G43.4 下旋轉軸的位置誤差，校正過的控制器切回名目輪圈
• BCAM 薄葉片：C 軸中心偏 0.020 mm——C 台上的一個誤差，兩支精修程式切出相反的結果
• 真圓度試件切在機台量到的垂直度上——另一篇論文在機台上量到的誤差，放進誤差項切試件
• 實作案例——其他案例，以及案例頁怎麼讀