Ø11 mm 球面 V 槽，刀尖低於 B 軸中心 10 µm：兩條槽從槽頂的 0 往槽端越切越深、槽端多切 7 µm；知道誤差的控制器也切出一樣的槽（5 軸）

原始來源: NC 程式：Liqiang Wu、Hanzhong Liu、Zhipeng Cui、Wenjun Zong，NC codes for a research in fabrication of randomly distributed V grooves on a spherical surface，Mendeley Data，V1（2023-09-04），DOI 10.17632/bcskc575nm.1（資料集頁面）。資料集只有五支 NC 程式與一段簡短說明：沒有 CAD 模型、毛胚、刀具、材料、機台或量測；講到機台，資料紀錄只寫「the five-axis machine tool」。本案播其中一支 simulation_singular1_without_singularity_algorithm（下稱 sim1，1,116 行）。配套論文 L. Wu、H. Liu、Z. Cui、W. Zong，Fabrication of randomly distributed V grooves on the great circles of a spherical surface using ultra-precision five-axis milling，Precision Engineering 85（2024）48–64，doi:10.1016/j.precisioneng.2023.09.005，不是開放取用，沒有讀。
搜尋關鍵字: NC codes for a research in fabrication of randomly distributed V grooves on a spherical surface、bcskc575nm、simulation_singular1_without_singularity_algorithm
授權: 資料集採創用 CC 姓名標示 4.0 國際（CC BY 4.0），依它的資料紀錄的授權欄位（2026-09-29 讀取），原文：「You can share, copy and modify this dataset so long as you give appropriate credit, provide a link to the CC BY license, and indicate if changes were made, but you may not do so in a way that suggests the rights holder has endorsed you or your use of the dataset.」NC 檔本身沒有授權聲明，資料集裡也沒有任何內容標明屬於第三方。配套論文屬出版社自己的授權，不在此列；本案沒有用到它的任何內容。本案只取程式，所有畫面都是 HiNC 的截圖，或由 HiNC 的結果畫成的圖表。機台、毛胚、刀具、刀把與裝夾是基礎案導出或自己選的，誤差是這一案選的；誤差的大小與正負號不是任何機台的量測值。
標註: 基礎案來源紀錄的標註原文： NC programs: Liqiang Wu, Hanzhong Liu, Zhipeng Cui, Wenjun Zong, "NC codes for a research in fabrication of randomly distributed V grooves on a spherical surface", Mendeley Data, V1 (2023), https://doi.org/10.17632/bcskc575nm.1. Licensed CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), provided as-is without warranties (CC BY 4.0 Section 5). Related article: L. Wu, H. Liu, Z. Cui, W. Zong, Precision Engineering 85 (2024) 48-64, https://doi.org/10.1016/j.precisioneng.2023.09.005. The authors do not endorse this case or HiNC. Changes: none to the files; the programs are played as published on a machine, stock, cutter and set-up made for this case.
The tool-and-holder pictures (and the shorter check runs) play a shortened copy of simulation_singular1: its lines 1–288 unchanged and line 289 stopped at its midpoint.
NC 程式取自 Wu 等人的資料集（CC BY 4.0），檔案一字未改，播放用的機台、毛胚、刀具與裝夾是為這個案例做的；刀與刀把的畫面（以及較短的驗證趟）播的是 simulation_singular1 的縮短複本：第 1–288 行原樣，第 289 行停在中點。超級高科技的代理在模擬機台的 B 軸與主軸之間加了一條誤差項連接，它的種類、大小與正負號都是代理選的。作者未為超級高科技、HiNC 或本案例背書。
關於這個案例: Wu 等人以超精密五軸銑削在小球上刻 V 槽。他們的資料集有兩支沒加奇異點演算法、槽會經過 B = 0 奇異姿態的程式，兩支加了演算法、刻同樣的槽的程式，以及生產用的程式。sim1 刻兩條 V 槽，各走一道，用機械座標 X Y Z B C 寫成，沒有 RTCP，也沒有 G43。基礎案只憑 NC 建出整套配置：每個五軸單節離程式零點都是 5.4943 mm，而 B、C 的 54 種讀法裡，只有一種讓每條槽都成為圓，也就是 B 擺頭繞刀尖轉、C 台繞球心轉；它做成一台沒有廠牌幾何的通用機。其餘是代理選的：半徑 5.5193 mm 的球（比程式半徑高 25 µm），下面是 Ø4 的柄與 Ø16 × 4 mm 的腳；60° V 刀，刀尖是 0.1 mm 的平端，Ø3 柄裝在熱縮刀把裡、懸伸 10 mm，T01 與 T04 同一把。播出來，sim1 在奇異單節挖出預期的坑：第 289 行的 C 在一個 G01 裡轉了 179.88°，切削離球心最近 3.6308 mm，在程式球面下 1.863 mm；槽 B 經過極點附近的地方還有第二個坑。基礎案沒有自己的對外頁，本案的完整紀錄引用它。這裡替這台機放進一個固定的幾何誤差：刀尖比 B 軸中心低 10 µm，這是代理選的典型值。

故事

用機械座標寫的五軸程式，只在算它的那台機上才對。sim1 用 T01 刻槽 A（第 6–560 行）、用 T04 刻槽 B（第 563–1114 行）。每條槽從赤道附近（B 約 60°）爬到槽頂：那裡 B 約 0、刀軸直立，刀尖在 Z 3.631、離 C 軸 4.12 mm；再下到另一側的赤道。程式假設刀尖剛好在 B 軸上，基礎案也正是靠這個假設反推出機台。真機上刀尖在哪裡由對刀決定，永遠會差一點。差 10 µm 時，這兩條槽長什麼樣子？控制器知不知道這個誤差，有沒有差別？

AI 代理把這個誤差放進基礎案的機台：B 軸中心比刀尖高 10 µm，等於刀比程式假設的 70 mm 長了 10 µm，或主軸鼻端在 B 頭裡低了 10 µm。它是一個沿刀軸 10 µm 的靜態平移，名叫 TipOffB，放在 B 軸與主軸之間一條自己的連接上，標成誤差項。HiNC 的誤差項放在一軸或主軸的連接正前方，而這台機的主軸連接沒有帶旋轉，不擔任主軸角色；所以代理先把它改成繞刀具自身軸線轉的主軸（這條軸線穿過刀尖），再綁上主軸角色。HiNC 的控制器算機械座標時，當作這條標記的連接不存在；專案的「啟用誤差項」開著時，模擬的機台卻帶著它移動、切削，就像一台控制器不知道這個誤差的真實機台。在 B 0 碰數，會把這 10 µm 吃進 G54 Z；HiNC 的 P0 量的是照設計的機台，不會吃進去，所以有誤差的那幾趟照 HiNC 手冊重現工廠切削結果的做法，手動打入 G54 (−15, 0, +0.010)。程式一行都沒改。

第一次播放前，代理先提交計畫：預期的刀尖偏移、每個特徵的偏差，以及七條通過標準。先播的是修剪案：sim1 的縮短複本，第 1–288 行加上第 289 行的前半，進刀到 B 60°、刻完槽 A 的前半，最後讓刀停在第一個坑的坑底。它用來驗建置、驗公式、驗碰數姿態與坑，也看真實的 10 µm 到底讀不讀得到。接著把 sim1 整案播三次，和這裡每一趟一樣用 0.0625 mm、只看幾何：

誤差項關：切出名目工件，之後每一次比對都以它為基準；
再關一次並做幾何差異偵測（Diff）：量雜訊底；
誤差項開、有標記：控制器不知道這個誤差。

修剪案除了名目與有標記的兩趟，還有一趟清掉標記，相當於做過運動學校正、知道這個誤差的控制器。程式照寫的數字加上工件座標直接送到各軸，完全不經機台的運動鏈，所以計畫預期這一趟與有標記的逐位相同，不只是接近；在修剪案跑一趟就足以說明。

HiNC：誤差項開切出的球連同 Diff 放回畫布；V 刀的 Ø3 柄從熱縮刀把往下伸進球頂的坑裡；一條槽從左邊的淚滴形坑往右下延伸，大半段綠色，到末端轉黃、轉紅；柄與腳是綠的；右下角是 Df 色條 — 有誤差，控制器不知道：誤差項開那一趟切出的工件連同 Diff 放回 HiNC 畫布，再播縮短的程式，讓 60° V 刀直立停在 B≈0 那個坑的坑底（B 0.12°，那裡刀尖只偏 0.02 µm）。Ø3 熱縮刀把（懸伸 10 mm）在球的上方。畫面裡看得到的是槽 B：槽頂經過左邊淚滴形的第二個坑，是綠的，往右下的槽端漸漸轉黃、轉紅。坑是綠的。槽端正下方那一小塊灰底、藍紅框的斑，位在名目切削匯出的網格缺面的地方，不是切削的差。

俯視球與腳的幾何差異，色階 ±0.007 mm，原地交替：「誤差項開」那一幀，兩條槽以弧線橫過球面，槽頂綠、往赤道兩端轉黃到紅，兩個坑是綠的；「誤差項關」那一幀全綠 — 比較圖，從正上方看：球與腳（柄藏在球的正下方），原地交替誤差項開（有標記）與誤差項關（對照）。開的時候，兩條槽各自從槽頂的綠，往兩個赤道端轉黃、轉紅，那裡過切 6–7 µm；兩把刀共用同一個機台誤差。兩個坑與未切的球面維持綠色。關的時候全綠。

HiNC 拓樸欄裡機台的連接圖（GeneralMechanism 叢集）：上排台側 O、base、Y、X、C、w，下排頭側 base、Z、B、spindleerr、S、t；B 到 spindleerr 的連接 TipOffB（StaticTranslation）畫成粗線、帶橘色「誤差項」徽章；spindle（DynamicRotation）在 spindleerr 到 S、標「工具機 · 主軸」 — 誤差放在哪：HiNC 設備頁拓樸欄的機台叢集。上排是台側 O → base → Y → X → C → w，下排是頭側 base → Z → B → spindleerr → S → t。TipOffB 是 B → spindleerr 上 10 µm 的靜態平移，在 B 軸下游、緊接主軸之前，畫成粗線、帶橘色「誤差項」徽章。主軸的旋轉連同它的值原封不動搬到 spindleerr → S，綁「工具機 · 主軸」角色。

槽的偏差對刀尖高度的圖：藍點是槽底中位數與 5–95% 帶，橘點是陡壁中位數，綠框是最深處，都從槽頂 Z 3.63 的 0 往槽端 Z −0.24 降，陡壁降得最緩，各自貼在預測線上；黑線是設計預測 Δr = −dz·(3.631 − Z)/5.4943，降到約 −7 µm；槽端的槽底標著 −6.45 µm — 主要證據：槽的偏差對刀尖高度，誤差項開切出的工件對名目工件，每 0.125 mm 一格。藍色是槽底的中位數與 5–95% 帶，橘色是陡壁的中位數，綠框是最深處，細線是逐點預測，黑線是設計預測 Δr = −dz·(3.631 − Z)/5.4943。從槽頂（Z 3.63）的 0，到槽端（Z −0.24）槽底的 −6.45 µm。槽底讀到 0.97 倍 Δr、陡壁 0.71 倍，都與預測相符。縱軸對稱 ±8 µm。

等角視的球、柄與腳的幾何差異，色階 ±0.007 mm，原地交替：「誤差項開」那一幀，一條槽從槽頂的綠到赤道附近的槽端轉黃、轉紅，坑與其他地方是綠的；「誤差項關」那一幀全綠 — 同樣的比較，HiNC 的等角視：球、柄與腳。誤差項開的時候，槽 A 從槽頂的綠，漸變到赤道附近槽端的黃與紅；槽 B 只在左側輪廓邊露出一點。坑、未切的球面、柄與腳維持綠色。誤差項關的時候全綠。

畫面由 HiNC 在基礎案的通用機台上繪出，機台上帶著代理加進去的誤差項連接；程式是作者的，照原樣播放，只有第一張畫面背後是縮短的複本。顏色是 HiNC 的幾何差異（色條上的 Df），比對對象是名目那一趟切出的工件；色階 ±0.007 mm，正負對稱：紅＝過切、藍＝留料、綠＝0。畫面是把記下的工件連同 Diff 放回畫布拍的，不是重播；第一張另播縮短的程式，把刀帶進畫面。格距 0.0625 mm。圖表由 HiNC 的逐步結果與匯出的切削網格畫成。

關鍵數字	意思
10 µm	誤差：B 軸中心沿刀軸比刀尖高 10 µm，等於刀比程式假設的 70 mm 長了 10 µm；照 ISO 230-7 的說法，是 B 軸相對主軸、沿刀軸方向的位置誤差。這是代理選的典型值，這台通用機沒有量過。在 B 0 碰數會把它吃進 G54 Z，所以有誤差的那幾趟打入 G54 (−15, 0, +0.010)
1.8×10⁻¹⁴ mm	4,961 個切削步量到的刀尖偏移，與第一次播放前寫下的公式 ΔCl = dz·(−sin B·cos C, −sin B·sin C, 1 − cos B)（dz = 10 µm）的最大差：B = 0 時是 0，B 59.97° 時 9.996 µm。機械座標的 X、Y、B、C 與名目逐位相同
48.6°	兩條槽從頭到尾，刀軸對球面法向都保持這個角度，所以槽深方向的誤差只看刀尖高度：Δr = −dz·(3.631 − Z)/5.4943，槽頂是 0，四個槽端預測 −7.0 µm
−6.45 · −7.33 µm	四個槽端的槽：127 個頂點的槽底中位數（逐點預測 −6.54 µm），以及最深處（設計 −7.0 µm）。這 7 µm 是這道程式名目切深 25 µm 的 28%
0.29 µm	沿高度分 31 格，槽底中位數與計畫公式的最大差。陡壁讀到 0.71 倍 Δr、槽底 0.97 倍，都與預測相符；只有最深處讀到的就是 Δr
3.63084 · 4.52138 mm	兩個坑裡切削離球心最近的距離，有誤差與沒誤差相同，也與基礎案相同：奇異單節發生在 B≈0，那裡刀尖最多只偏 0.047 µm。坑區 13,784 個頂點 99.91% 在 0.5 µm 內
逐位相同	修剪案清掉標記的那一趟，相當於知道誤差的控制器：3,037 個配對步的機械座標與有標記的相同，切削件的網格距離檔逐位元組相同。只有第 16 行（空中的 C 定位）是 2,806 步，有標記的是 2,807 步
1 小時 35 分	六趟 0.0625 mm 播放在共用的 32 執行緒伺服器上的時間：修剪三趟，每趟 10.0–12.0 分鐘；整案三趟，每趟 20.6–21.0 分鐘、16,018 或 16,019 步。記憶體峰值最高的一趟是 3.67 GB（3.42 GiB）

八個難題中的四個

常用的誤差在這台機上留不下痕跡

旋轉軸的誤差，這一系列誤差項案例通常放成軸正上游的一條平移：旋轉中心偏離設計位置。這台機上，這樣做零件上什麼都留不下。B 上游的平移會把 B 的樞點連同吊在它下面的主軸與刀一起搬，刀尖仍在 B 軸上，任何 B 都只差同一個常數，碰數就把它吃掉了。C 上游同理，因為球吊在 C 底下。B 軸傾斜只會讓刀軸繞著不動的刀尖轉；直線軸的垂直度，在這裡 ±4 mm 的行程上只有 0.2 µm。這些是設計代理在這顆球上逐一算的，一個都沒有播。能留下微米級痕跡的定值誤差只有一種：刀尖不在 B 軸上，而這正是這道程式所倚賴的假設。所以誤差放在 B 下游、緊接主軸之前，有誤差的那幾趟打入在 B 0 碰數會量到的 G54。打入的 G54 生效之後，B = 0 的 856 個配對步與名目差不到 1.5×10⁻¹⁴ mm。

0.0625 mm 的格子讀 10 µm

V 槽比一格還小：刀的平端中心只在毛胚面下 25 µm，平端外緣 62.5 µm；槽端預期的 7 µm 只有格寬的 11%。把誤差放大，就得為每張畫面說明換算，還要多播一趟整案。設計留了 ×50 的備案（dz 0.5 mm、色階 ±0.35 mm），並先寫好判準：修剪案的槽端窗比名目深至少 5 µm，而且對照趟的 99 百分位在 2 µm 內，就用真實值。修剪案沒有對照趟，所以做決定時只量得到前半：槽 A 起點的槽底中位數 −6.47 µm。於是整案用真實的 10 µm、色階 ±0.007 mm，×50 那一趟沒有播。後半是事後在整案的對照趟補量的，也通過：99 百分位 4.2×10⁻¹⁰ mm。

槽底、陡壁與最深處各讀到什麼

槽有兩個面：刀的 30° 錐面切出的長而緩的槽底，與球面只差 11.4°；刀的平端切出的陡壁，法向就是刀軸，與球面法向差 48.6°。兩面在平端外緣相交，那裡是槽的最深處。網格距離量的是各面沿自己法向的位移，不是槽深方向：槽底讀到 0.97 倍 Δr，陡壁 0.71 倍，只有最深處讀到的就是 Δr。混在一起看，陡壁會像是誤差模型不準。分析用自己定的規則把槽的頂點分到兩個面，計畫的標準以槽底判；再把名目的刀整支平移該步的 ΔCl，逐點算出每個頂點的預測：量到減預測的中位數，槽底 3,243 個頂點是 +0.02 µm，陡壁 899 個頂點是 +0.01 µm。槽端的陡壁讀到 −4.63 µm，預測 −4.82 µm。把陡壁併進槽底，標準照樣通過：31 格與公式都差在 0.44 µm 內。

名目切削網格缺了一塊

誤差項開切出的工件對名目工件，讀到 −253 到 +130 µm，是最大刀尖偏移的二十幾倍。距離搜尋只看最近 12 個三角形的重心，可能把距離算大，所以搜尋讀到超過 8 µm 的 243 個頂點，都用精確的點到三角形距離重算：全部是真的距離，與搜尋值差不到 1.5×10⁻⁸ mm。其中 213 個在槽 B 末端下方一塊未切的毛胚球面上，離名目切削最近的三角形 8.1 到 253.3 µm：名目那一趟匯出的切削網格在那裡沒有面，重播它的對照趟也沒有。所以這既不是切削的差，也不是搜尋的假象；為什麼缺這一塊，紀錄說不出來。這一塊（327 個頂點）排除在分區統計之外。另外 30 個在兩條槽底邊的尖稜上，−19.4 到 −8.1 µm，也是真的：0.0625 mm 的網格在兩件切削件上把這道尖稜削圓的方式不同。HiNC 自己的 Diff 在這一趟回報 72 個 NaN 葉，對照趟只有 1 個，紀錄沒有位置；第一張畫面裡槽 B 末端下方那一小塊灰斑就在這一塊上，可能就是它們，這一點沒有查證。

其餘四個都在完整紀錄裡：主軸連接原本不擔任角色，代理先把它改成繞刀具自身軸線轉的主軸，誤差才放得到它前面，兩個坑證明切削沒有因此改變；誤差項開的那一趟多一步，所以兩趟改以程式行配對，沒有照計畫寫的方式對齊，而且 B = 0 的零偏差要等打入的 G54 生效才成立；不標記那一趟在第 16 行少一步；以及一個沒有成真的疑慮：在固定的運動解析度下，HiNC 每一步切除的是刀在前後兩個姿態之間的凸包，刀繞著不動的點轉時，凸包會退化；開了誤差，刀改繞刀尖外 10 µm 的點轉，六趟都順利跑完。

結果

六趟都播到結束，沒有碰撞、沒有行程警報，sim1 會動到軸的程式行都有播到，共 1,094 行。警告只有程式本身的 G14 與 M25（HiNC 不解讀這兩個碼），以及 Diff 提醒它的目標是匯出的切削件、不是封閉網格。第一次播放前寫下的七條標準，五條照原文通過：建置、每趟乾淨跑完、對照趟、槽與成本紀錄。兩條照原文各有一部分沒過：刀尖那一條在碰數姿態 B = 0 的部分，打入的 G54 Z 生效前、停在空中的 909 步正好偏 10 µm；不標記那一條要求逐步相同，差在第 16 行。

誤差項開、控制器不知道時，4,961 個切削步的刀尖都落在第一次播放前寫下的公式上，最大差 1.8×10⁻¹⁴ mm。偏移在 B = 0 時是 0，照 2dz·sin(B/2) 長大，進刀時 B 59.97° 達到 9.996 µm；它只看 B，C 只轉它的方向，與刀在球上的哪一點無關。沿著槽拆開：槽深方向分量 Δr；朝槽頂的沿槽分量 0.021 到 7.071 µm，槽端最大；離開槽平面的分量，槽 A 是 0、槽 B 0.007 µm，槽仍留在原本的平面上。機械座標的 X、Y、B、C 與名目逐位相同，Z 差打入的 +0.010 mm，只有停在機械零點的步不差。誤差項開的那一趟多了兩個切削步：第 20、576 行進刀的最後一步，刀尖往球心深了約 7 µm，碰到了毛胚。

兩格圖。左格是刀尖偏移的三個分量對 B 角：沿槽分量升到約 7 µm，槽深方向分量在 B 60° 降到約 −7 µm，離開槽平面的分量在 0，每個量到的點都落在黑色公式線上，灰虛線 |ΔCl| = 2·dz·sin(B/2) 到 10 µm；右格是槽深方向分量對刀尖高度，從 Z −0.2 的約 −7 µm 到 Z 3.631 的 0 一條直線 — 每個切削步的刀尖偏移，誤差項開減名目，以程式行配對。左格是三個分量對 B 角，量到的點落在黑色公式線上：槽深方向分量降到約 −7 µm，沿槽分量升到 7.07 µm，離開槽平面的分量維持 0；灰虛線是 |ΔCl| = 2dz·sin(B/2)。右格是槽深方向分量對刀尖高度，落在直線 −dz·(3.631 − Z)/5.4943 上。4,961 個切削步，最大差 1.8×10⁻¹⁴ mm。縱軸對稱。

刀軸對球面法向恆成 48.6°，所以槽深方向的分量只看刀尖高度：Δr = −dz·(3.631 − Z)/5.4943，槽頂是 0，往赤道越深；在五軸單節的 4,250 步上，與這條式子差不到 0.0003 µm。零件上，以誤差項開切出的工件每個頂點到名目工件的帶號距離來量，槽底的中位數在四個槽端是 −6.45 µm，B≈50° −4.88 µm，40° −3.20、30° −1.79、20° −0.82、10° −0.21，槽頂 −0.03 µm。把名目的刀整支平移該步的 ΔCl、逐點算出的預測，與這些中位數差在 0.1 µm 內；沿高度分 31 格，槽底中位數與計畫公式差在 0.29 µm 內。槽端最深處讀到 −7.33 µm，設計 −7.0 µm。槽也變寬了：由兩面的角度推得是 5.86 倍 |Δr|，槽端約 41 µm；0.0625 mm 的網格只看得出趨勢。

其他地方都沒動。兩個坑離球心最近仍是 3.63084 與 4.52138 mm，與沒有誤差時相同，坑區 13,784 個頂點 99.91% 在 0.5 µm 內。未切的球面（排除名目網格缺面的那一塊）99.999% 的頂點也在 0.5 µm 內，柄與腳全部都在。排除那一塊之後，整件 235,812 個頂點 98.5% 在 0.5 µm 內，偏離 0 的都在兩條槽裡或槽邊；最低的 −19.42 µm 在槽 B 底邊的尖稜上，用精確距離核對過。程式自己的錯（B≈0 的坑）與機台的錯（隨 B 長大的槽深），在同一顆球上留下不同的指紋。

對照趟（誤差項關、做 Diff）其實就是名目趟再播一次：16,018 步的刀尖、機械座標與每步是否碰到毛胚，全部逐位相同，235,904 個頂點與名目工件都差在 5.0×10⁻¹⁰ mm 內。代理補上的主軸沒有改變切削：證據不是對照趟（兩趟都帶著這個改動），而是兩個坑。名目切削的 3.63084 與 4.52138 mm，與基礎案的結果相同：sim1 的 3.6308 mm，以及 sim2 的 4.5214 mm（sim2 是作者的另一支程式，它的第 288–289 行就是 sim1 的第 844–845 行）。

清掉標記，相當於做過運動學校正、知道這個誤差的控制器；開關仍開著、G54 照樣打入，修剪案切出同一件工件：3,037 個配對步的機械座標與有標記的逐位相同，刀尖差在 1.8×10⁻¹⁵ mm 內，切削件的網格距離檔逐位元組相同，HiNC 的 Diff 統計也一樣。程式是機械座標，沒有 G43.4、G68，也不是 CL，控制器把程式加上工件座標直接送到各軸；知道誤差，也沒有東西可以補。唯一的差別在第 16 行，一段在空中、從 C0 轉到 C144.756 的定位，刀尖離 C 軸 14.7 mm：不標記 2,806 步，有標記 2,807 步，兩端點相同。HiNC 依運動解析度（這裡是 0.01 mm、0.5°）把一行分成「刀尖弦長／0.01 mm」與「轉角／0.5°」兩者較大的步數，而這裡的刀尖是控制器自己算的：有標記時用名目的鏈，刀尖離 C 軸 14.7247 mm，弦長 28.0674 mm，2,807 步；不標記時含誤差，14.7162 mm、28.0514 mm，2,806 步。兩個數都對得上；這是讀數字得到的一致，沒有追程式碼。

要讓刀尖回到程式上，後處理得把每個單節寫成 X′ = X + dz·sin B、Z′ = Z − dz·(1 − cos B)，搭配碰數的 G54：B 60° 時是 +8.66 與 −5.0 µm。這是由公式推得的，沒有播放。另一條路是在機台上把刀尖調回 B 軸上。只有 RTCP 程式，才輪得到校正過的控制器出手。

對 B 角的圖：不標記與有標記兩趟量到的 X、Y、Z 差，從 B 0 到 60° 全部在 0；藍虛線是推得的後處理修正 X′ − X = +dz·sin B，升到約 8.7 µm；橘虛線是 Z′ − Z = −dz·(1 − cos B)，在 B 60° 降到 −5 µm；兩條虛線都標「推導，未播放」 — 控制器知道誤差，在這裡什麼也沒改：修剪程式裡不標記減有標記的機械座標，3,037 個配對步的 X、Y、Z、B、C 全部是 0。虛線是要讓刀尖回到程式上、後處理得寫進每個單節的修正 X′ − X = +dz·sin B 與 Z′ − Z = −dz·(1 − cos B)：由公式推得，沒有播放。縱軸對稱 ±10 µm。

這裡只放了一個固定的誤差：刀尖沿刀軸偏離 B 軸。真實的 B 頭同時還有別的誤差：B 0 時刀尖橫向偏離 B 軸，會讓槽端移位、槽離開原本的平面，槽深也不再只看高度；B 軸的傾斜；C 的徑向跳動。主軸熱伸長會讓 dz 隨時間變，固定值的誤差項表達不了。大小與正負號是選的：10 µm 是典型值，不是量測值。刀尖每低 1 µm，槽端多深 0.70 µm；若刀尖反而高於 B 軸中心，正負全部反過來，槽往赤道越切越淺，槽端留料 7 µm。碰數是打入的，並假設在 B 0 碰數。這裡 T01 與 T04 刀長相同；真機上第二把刀會有自己的刀長誤差。播放只看幾何，沒有切削力、撓曲與熱，也沒有播作者的修正版程式。一切都是模擬，沒有真的切過任何一顆球。

帶來了什麼

對加工工程師：B 擺頭的五軸程式若用機械座標、沒有 RTCP，它的精度就押在一個假設上：刀尖剛好在 B 軸上。刀尖低 10 µm，每條槽就從槽頂往赤道越切越深，槽端多 7 µm，是這道程式名目切深 25 µm 的 28%。B 0 碰數看不出來，機械座標的 X、Y、B、C 一個字都沒變，Z 只差碰數吃進去的 10 µm。它的指紋是「槽深只看高度」：在零件上量槽深對高度，就能驗證它，並讀回 dz。校正過的控制器幫不上忙，因為程式根本不經機台的運動鏈：標記與不標記，機械座標逐位相同。修正要寫進後處理（X′ = X + dz·sin B、Z′ = Z − dz·(1 − cos B)），或把刀尖調回 B 軸上；校正過的運動學只對 RTCP 程式有用。程式自己的錯（極點的坑）與機台的錯（隨 B 長大的槽深）在同一顆球上留下不同的指紋，模擬把兩者分開。在 HiNC 裡，可以把一台機量到的固定誤差放進模型，上機前就看到它在自己的零件上是什麼樣子、有多大。
對老師或學生：刀側的偏移（沿刀軸 dz）怎麼變成刀尖偏移 dz·(a(0) − a(B))（a(B) 是刀軸方向，再由 C 台轉過去），為什麼它只看 B；為什麼放在 B 上游的平移在這台機上是 0；為什麼刀軸對球面恆成 48.6°，槽深誤差就只看高度：Δr = −dz·(3.631 − Z)/5.4943；為什麼網格距離量的是各面沿自己法向的位移：槽底 0.97 倍 Δr、陡壁 0.71 倍，只有最深處才是 Δr；以及標記與不標記怎麼對應沒校正與校正過的運動學：在機械座標程式上兩者相同，只差控制器自己算的刀尖決定的一行步數。
對考慮讓代理搭配 HiNC 的人：建置加六趟播放用了 1 小時 35 分的伺服器時間，記憶體峰值最高 3.67 GB。預測在第一次播放前就寫好了：刀尖對到 1.8×10⁻¹⁴ mm，槽底中位數與計畫公式差在 0.29 µm 內，兩個坑與基礎案相同；播放後加的逐點模型（刀整支平移量到的 ΔCl）與槽底中位數差在 0.1 µm 內。計畫沒中的地方，紀錄都照量到的寫：改以程式行配對、B = 0 的零偏差要等打入的 G54 生效、第 16 行少一步、陡壁不能套槽底的公式，以及名目網格缺了一塊。

看完整的案例紀錄：球面 V 槽，刀尖低於 B 軸中心 10 µm

機台、毛胚與刀具怎麼只憑 NC 推出來，寫在那份紀錄裡；基礎案沒有自己的對外頁。

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